大阪大学 前期理系 1996年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1996年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 方程式と不等式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{custom_mori} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 次の2条件({\sffamily a}),\,\,({\sffamily b})を同時にみたす整数 $a,\,\,b$ の組% $(a,\,\,b)$をすべて求めよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\sffamily \alph{enumi})} \item  2次方程式 $X^2 + aX + b = 0$ の2つの解が共に2以上の整数である. \item  不等式 $3a + 2b \leqq 0$ が成り立つ. \hfill (配点率 20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1996年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 次の2条件({\sffamily a}),\,\,({\sffamily b})を同時にみたす整数 $a,\,\,b$ の組% $(a,\,\,b)$をすべて求めよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\sffamily \alph{enumi})} \item  2次方程式 $X^2 + aX + b = 0$ の2つの解が共に2以上の整数である. \item  不等式 $3a + 2b \leqq 0$ が成り立つ. \hfill (配点率 20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm $a$ を正の定数として, 2平面 $\alpha,\,\,\beta$ \begin{align*} \alpha : \frac{x}{a} + \frac{y}{a} + z = 1,\quad \beta : \frac{x}{a} + \frac{y}{a} - z = 1 \end{align*} と2点$\A(a,\,\,0,\,\,0),\,\,\B(0,\,\,a,\,\,0)$を考える. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  原点$\O(0,\,\,0,\,\,0)$の平面 $\alpha$ に関する対称点をC, 平面 $\beta$ に関する対称点をDとするとき, C,\,\,Dの座標を求めよ. \item  直線CDと平面 $z = 0$ との交点が$\triangle\A\B\O$の 内部(ただし,線分ABを含める)にあるための $a$ の範囲を求めよ. \item  $a = 2$ とする. 点Pが平面 $\alpha$ 上を動き, 点Qが平面 $\beta$ 上を動くとき, 線分の長さの和 $\O\P + \P\Q + \Q\O$ の最小値と そのときのP,\,\,Qの座標を求めよ.\\ \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $n$ を2以上の自然数とする. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  不等式 \begin{align*} n\log n - n + 1 < \sum_{k=1}^n \log k < (n+1)\log n - n + 1 \end{align*} が成り立つことを示せ. \item  極限値 $\lim\limits_{n \to \infty} (n!)^{\frac{1}{n\log n}}$ を求めよ. \hfill (配点率 20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 中心O半径1の円の円周上の2点をP,Qとし,\smallskip $\angle\P\O\Q = \theta\,\,\,\left(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right)$ とする. Pにおける円の接線と直線OQとの交点をR, PからOQに下ろした垂線の足をHとし, 弧$\ko{PQ}$と線分PH,HQで囲まれる部分を $D$ とする. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\triangle\O\P\R$の面積 $S_1$ と $D$ の面積 $S_2$ に対して % $\lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{S_2}{S_1}$ を求めよ. \item  ORを軸として$\triangle\O\P\R$を回転させてできる 立体の体積 \smallskip$V_1$ と $D$ を 回転させてできる立体の体積 $V_2$ に対して % $\lim\limits_{\theta \to 0}\dfrac{V_2}{\theta^2V_1}$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 黒玉が2個入っている箱がある. いま,次のような試行を繰り返す. 箱から無作為に玉を1個取り出す. もし取り出した玉が黒玉ならばさいころを投げ, 出た目が4以下のときはそれをそのまま箱に戻し, 出た目が5以上のときはそれを白玉と取りかえて箱に戻す. もし取り出した玉が白玉ならばそのまま箱に戻す. $n$回目の試行が終わったとき箱に入っている白玉の数を $X_n$ とし, $X_n = k$ である事象 $\{X_k = k\}$ の起こる確率を $P(X_n = k)$ で表す. ただし,$P(X_0 = 1) = 1$ とする. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  事象 $\{X_{n-1} = 0\}$ および $\{X_{n-1} = 1\}$ のそれぞれのもとで 事象 $\{X_n = 1\}$ の起こる条件つき確率を求めよ. \item  $P(X_n = 1)$ を $P(X_{n-1} = 1)$ を用いて表せ. \item  $X_n$ の確率分布を求めよ. \item  $n$回目の試行が終わったときに箱に入っている白玉の数がはじめて2個になる確率を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}