大阪大学 後期理系 2003年度 問4

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 2003年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{custom_mori} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $\pi$を円周率とする. 次の積分について考える. \begin{align*} I_0 &= \pi\int_0^1 \sin \pi t\,dt \\[1mm] I_n &= \frac{\pi^{n+1}}{n!} \int_0^1 t^n(1 - t)^n\sin \pi t\,dt \quad (n = 1,\,\,2,\,\,\cdots) \end{align*} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $n$ が自然数であるとき, 不等式 \[ 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} < e^x \quad (x > 0) \] が成立することを数学的帰納法によって示せ. これを用いて, 不等式 \[ I_0 + uI_1 + u^2I_2 + \cdots + u^nI_n < \pi e^{\pi u} \quad (u > 0) \] が成立することを示せ. \item  $I_0,\,\,I_1$ の値を求めよ. また,漸化式 \[ I_{n+1} = \frac{4n + 2}{\pi}I_n - I_{n-1} \quad (n = 1,\,\,2,\,\,\cdots) \] が成立することを示せ. \item  $\pi$が無理数であることを背理法により証明しよう.\smallskip $\pi$が無理数でないとし, 正の整数 $p,\,\,q$ によって \smallskip$\pi = \dfrac{p}{q}$ として表される と仮定する. $A_0 = I_0,\,\,\,A_n = p^nI_n$ とおくとき, $A_0,\,\,A_1,\,\,A_2,\,\,\cdots$ は正の整数になることを示せ. さらに,これから矛盾を導け. \hfill(配点70点) \end{enumerate} \end{document}