大阪大学 後期理系 1997年度 問2

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 1997年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{custom_mori} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 自然数 $n$ に対して, 関数 $f_n(x) = x^ne^{1-x}$ と,その定積分 % \smallskip$\displaystyle a_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx$ を考える. ただし,$e$ は自然対数の底である. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  区間 $0 \leqq x \leqq 1$ 上で $0 \leqq f_n(x) \leqq 1$ であることを示し, さらに $0 < a_n < 1$ が成り立つことを示せ. \item  $a_1$ を求めよ. $n > 1$ に対して, $a_n$ と $a_{n-1}$ の間の漸化式を求めよ. \item  自然数 $n$ に対して, 等式 \[ \frac{a_n}{n!} = e - \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right) \] が成り立つことを証明せよ. \item  いかなる自然数 $n$ に対しても, $n!e$ は整数とならないことを示せ.\\ \hfill(理学部50点,工学部・基礎工学部は配点率40%) \end{enumerate} \end{document}