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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
2007年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
関数と極限 ・ 積分法の応用
|
状態 |
 |
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport}
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\setlength{\oddsidemargin}{2.5mm}
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\begin{document}
\setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw}
\setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw}
$n$ を自然数とする.
関数 $y = \sqrt{\vphantom{b} x}$ のグラフを $C$ とし,
$C$ 上の2点$(n,\,\,\sqrt{\vphantom{b} n}\,)$と
$(n+1,\,\,\sqrt{\vphantom{b} n+1}\,)$を通る直線を $l$ とする.
$C$ と $l$ で囲まれた部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積
を $V$ とする.
このとき $\lim\limits_{n \to \infty} n^aV = b$ を満たす正の数 $a,\,\,b$ を
求めよ.
\hfill(配点率20%)
\vskip 1zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2007年度前期理系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
$n$ を自然数とする.
関数 $y = \sqrt{\vphantom{b} x}$ のグラフを $C$ とし,
$C$ 上の2点$(n,\,\,\sqrt{\vphantom{b} n}\,)$と
$(n+1,\,\,\sqrt{\vphantom{b} n+1}\,)$を通る直線を $l$ とする.
$C$ と $l$ で囲まれた部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積
を $V$ とする.
このとき $\lim\limits_{n \to \infty} n^aV = b$ を満たす正の数 $a,\,\,b$ を
求めよ.
\hfill(配点率20%)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$x$ が正の数のとき $\zettaiti{\log x}
\leqq \dfrac{\zettaiti{x - 1}}{\sqrt{\vphantom{b} x}}$ を示せ.
\item
$p,\,\,q,\,\,r$ が $p + q + r = 1$ を満たす正の数のとき
\[
p^2 + q^2 + r^2 \geqq \frac{1}{3}
\]
を示せ.
\item
$a,\,\,b,\,\,c$ が相異なる正の数で,
$\sqrt{\vphantom{b} a} + \sqrt{\vphantom{b} b} + \sqrt{\vphantom{b} c}
= 1$ を満たすとき
\[
\frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a}
+ \frac{bc}{c-b}\log\frac{c}{b}
+ \frac{ca}{a-c}\log\frac{a}{c}
\leqq \frac{1}{3}
\]
を示せ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$xy$平面において,原点Oを通る半径 $r\,\,\,(r > 0)$ の円を $C$ とし,
その中心をAとする.
Oを除く $C$ 上の点Pに対し,
次の2つの条件({\sffamily a}),\,\,({\sffamily b})で定まる点Qを考える.
\begin{enumerate}
\item[({\sffamily a})]
$\OP$ と $\OQ$ の向きが同じ.
\item[({\sffamily b})]
$\zettaiti{\OP}\zettaiti{\OQ} = 1$
\end{enumerate}
\noindent%
以下の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
点PがOを除く $C$ 上を動くとき,
点Qは $\OA$ に直交する直線上を動くことを示せ.
\item
(1)の直線を $l$ とする.
$l$ が $C$ と2点で交わるとき,
$r$ のとりうる値の範囲を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
$f(x) = x^3 - x$ とし,
$t$ を実数とする.
$xy$平面において,
曲線 $y = f(x)$ を $C_1$ とし,
直線 $x = t$ に関して $C_1$ と対称な曲線
\[
y = f(2t - x)
\]
を $C_2$ とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$C_1$ と $C_2$ が3点で交わるとき,
$t$ のとりうる値の範囲を求めよ.
\item
$t$ が(1)で求めた範囲を動くとき,
$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分の面積 $S$ の最大値を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
$n$ を2以上の自然数とする.4個の行列
\begin{alignat*}{8}
& A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
& \quad
& B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
& \quad
& C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},
& \quad
& D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{alignat*}
を重複を許して$n$個並べたものを
\begin{align*}
M_1,\,\,M_2,\,\,\cdots,\,\,M_n
\end{align*}
とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
積 $M_1M_2 \cdots M_n$ が定義できる場合は何通りあるか.
その数を $n$ の式で表せ.
\item
積 $M_1M_2 \cdots M_n$ が定義できて,
その積が零行列でない$2 \times 3$行列となる場合は何通りあるか.
その数を $n$ の式で表せ.
\item
積 $M_1M_2 \cdots M_n$ が定義できて,
その積が零行列とならない場合は何通りあるか.
その数を $n$ の式で表せ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\end{document}