大阪大学 前期理系 2007年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2007年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{670pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $n$ を自然数とする. 関数 $y = \sqrt{\vphantom{b} x}$ のグラフを $C$ とし, $C$ 上の2点$(n,\,\,\sqrt{\vphantom{b} n}\,)$と $(n+1,\,\,\sqrt{\vphantom{b} n+1}\,)$を通る直線を $l$ とする. $C$ と $l$ で囲まれた部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 を $V$ とする. このとき $\lim\limits_{n \to \infty} n^aV = b$ を満たす正の数 $a,\,\,b$ を 求めよ. \hfill(配点率20%) \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2007年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm $n$ を自然数とする. 関数 $y = \sqrt{\vphantom{b} x}$ のグラフを $C$ とし, $C$ 上の2点$(n,\,\,\sqrt{\vphantom{b} n}\,)$と $(n+1,\,\,\sqrt{\vphantom{b} n+1}\,)$を通る直線を $l$ とする. $C$ と $l$ で囲まれた部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 を $V$ とする. このとき $\lim\limits_{n \to \infty} n^aV = b$ を満たす正の数 $a,\,\,b$ を 求めよ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $x$ が正の数のとき $\zettaiti{\log x} \leqq \dfrac{\zettaiti{x - 1}}{\sqrt{\vphantom{b} x}}$ を示せ. \item  $p,\,\,q,\,\,r$ が $p + q + r = 1$ を満たす正の数のとき \[ p^2 + q^2 + r^2 \geqq \frac{1}{3} \] を示せ. \item  $a,\,\,b,\,\,c$ が相異なる正の数で, $\sqrt{\vphantom{b} a} + \sqrt{\vphantom{b} b} + \sqrt{\vphantom{b} c} = 1$ を満たすとき \[ \frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a} + \frac{bc}{c-b}\log\frac{c}{b} + \frac{ca}{a-c}\log\frac{a}{c} \leqq \frac{1}{3} \] を示せ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $xy$平面において,原点Oを通る半径 $r\,\,\,(r > 0)$ の円を $C$ とし, その中心をAとする. Oを除く $C$ 上の点Pに対し, 次の2つの条件({\sffamily a}),\,\,({\sffamily b})で定まる点Qを考える. \begin{enumerate} \item[({\sffamily a})]  $\OP$ と $\OQ$ の向きが同じ. \item[({\sffamily b})]  $\zettaiti{\OP}\zettaiti{\OQ} = 1$ \end{enumerate} \noindent% 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  点PがOを除く $C$ 上を動くとき, 点Qは $\OA$ に直交する直線上を動くことを示せ. \item  (1)の直線を $l$ とする. $l$ が $C$ と2点で交わるとき, $r$ のとりうる値の範囲を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $f(x) = x^3 - x$ とし, $t$ を実数とする. $xy$平面において, 曲線 $y = f(x)$ を $C_1$ とし, 直線 $x = t$ に関して $C_1$ と対称な曲線 \[ y = f(2t - x) \] を $C_2$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $C_1$ と $C_2$ が3点で交わるとき, $t$ のとりうる値の範囲を求めよ. \item  $t$ が(1)で求めた範囲を動くとき, $C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分の面積 $S$ の最大値を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm $n$ を2以上の自然数とする.4個の行列 \begin{alignat*}{8} & A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, & \quad & B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, & \quad & C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, & \quad & D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{alignat*} を重複を許して$n$個並べたものを \begin{align*} M_1,\,\,M_2,\,\,\cdots,\,\,M_n \end{align*} とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  積 $M_1M_2 \cdots M_n$ が定義できる場合は何通りあるか. その数を $n$ の式で表せ. \item  積 $M_1M_2 \cdots M_n$ が定義できて, その積が零行列でない$2 \times 3$行列となる場合は何通りあるか. その数を $n$ の式で表せ. \item  積 $M_1M_2 \cdots M_n$ が定義できて, その積が零行列とならない場合は何通りあるか. その数を $n$ の式で表せ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}