大阪大学 前期理系 1986年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1986年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 集合と論理
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{custom_mori} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\log_3 4$ は無理数であることを証明せよ. \item  $a,\,\,b$ は無理数で,$a^b$ が有理数であるような数の組 $a,\,\,b$ を 1組求めよ.\\ \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1986年度理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\log_3 4$ は無理数であることを証明せよ. \item  $a,\,\,b$ は無理数で,$a^b$ が有理数であるような数の組 $a,\,\,b$ を 1組求めよ.\\ \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm $xy$平面内の曲線 \smallskip$C : y = \dfrac{1}{x},\,\,\,x > 0$ 上の 相異なる2点$\P\!\left(a,\,\,\dfrac{1}{a} \right),\,\, \Q\!\left(b,\,\,\dfrac{1}{b} \right)\,\,\, (ただし,\,\,\,0 < a < b)$に対し, $\R\!\left(b,\,\,\dfrac{1}{a} \right)$とおく.\smallskip いま,点P,Qが,\smallskip $\triangle\P\Q\R$と$\triangle\O\P\Q$の面積の比が一定値 $k$, すなわち $\dfrac{\triangle\P\Q\R}{\triangle\O\P\Q} = k$ であるように 曲線 $C$ 上を動くとき, 点P,Qにおける曲線 $C$ の接線の交点Sの軌跡を求めよ. ただし,Oは原点である. \hfill(満点40点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 正の数 $\theta_1,\,\,\theta_2,\,\,\theta_3,\,\,\theta_4,\,\,\theta_5$ % が $\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4 + \theta_5 = 2\pi$ をみたしながら変わるとき, $\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3 + \sin\theta_4 + \sin\theta_5$ の最大値を,次の手順で求めよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\alpha < 2\pi$ をみたす正の数 $\alpha$ をきめる. $\theta_1 + \theta_2 = \alpha$ のとき, $\sin\theta_1 + \sin\theta_2$ の最大値を求めよ. \item  $\beta < 2\pi$ をみたす正の数 $\beta$ をきめる. $\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4 = \beta$ のとき,\\ $\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3 + \sin\theta_4$ % の最大値を $\theta_5$ で表せ. \item  $\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3 + \sin\theta_4 + \sin\theta_5$ の最大値を求めよ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $xyz$空間内に定点$\A(1,\,\,1,\,\,0),\,\,\B(-1,\,\,1,\,\,0)$がある. いま点Pが$yz$平面上の半円 \[ x = 0,\quad y^2 + z^2 = 2,\quad y \leqq 0 \] の上を動くとき, $\triangle\P\A\B$の周および内部の点の全体でつくられる立体 $K$ を考える. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  平面 $x=t$ による $K$ の切り口はどのような図形か. \item  $K$ の体積を求めよ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 袋Aには1から$n$までの番号のついた$n$枚のカードがはいっており, 袋Bには1から$m$までの番号のついた$m$枚のカードがはいっている. ただし,$m > n$ とする. $n$人の人が1回目に袋Aから無作為にカードを1枚ずつとり, 2回目に袋Bから無作為にカードを1枚ずつとる. ただし,とりだしたカードはもとに戻さないものとする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  すべての人について2回目のカードの番号が1回目のカードの番号より大きいという事象の確率 $P_{m,\,\,n}$ を求めよ. \item  $m = 2n$ のときの $P_{n,\,\,2n}$ に対して, $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \log P_{n,\,\,2n}$ を求めよ.\\ \hfill(満点40点) \end{enumerate} \end{document}