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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
1986年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
集合と論理
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\log_3 4$ は無理数であることを証明せよ.
\item
$a,\,\,b$ は無理数で,$a^b$ が有理数であるような数の組 $a,\,\,b$ を
1組求めよ.\\
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1986年度理系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\log_3 4$ は無理数であることを証明せよ.
\item
$a,\,\,b$ は無理数で,$a^b$ が有理数であるような数の組 $a,\,\,b$ を
1組求めよ.\\
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
$xy$平面内の曲線 \smallskip$C : y = \dfrac{1}{x},\,\,\,x > 0$ 上の
相異なる2点$\P\!\left(a,\,\,\dfrac{1}{a} \right),\,\,
\Q\!\left(b,\,\,\dfrac{1}{b} \right)\,\,\,
(ただし,\,\,\,0 < a < b)$に対し,
$\R\!\left(b,\,\,\dfrac{1}{a} \right)$とおく.\smallskip
いま,点P,Qが,\smallskip
$\triangle\P\Q\R$と$\triangle\O\P\Q$の面積の比が一定値 $k$,
すなわち $\dfrac{\triangle\P\Q\R}{\triangle\O\P\Q} = k$ であるように
曲線 $C$ 上を動くとき,
点P,Qにおける曲線 $C$ の接線の交点Sの軌跡を求めよ.
ただし,Oは原点である.
\hfill(満点40点)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
正の数 $\theta_1,\,\,\theta_2,\,\,\theta_3,\,\,\theta_4,\,\,\theta_5$ %
が $\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4 + \theta_5 = 2\pi$ をみたしながら変わるとき,
$\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3 + \sin\theta_4 + \sin\theta_5$ の最大値を,次の手順で求めよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\alpha < 2\pi$ をみたす正の数 $\alpha$ をきめる.
$\theta_1 + \theta_2 = \alpha$ のとき,
$\sin\theta_1 + \sin\theta_2$ の最大値を求めよ.
\item
$\beta < 2\pi$ をみたす正の数 $\beta$ をきめる.
$\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4 = \beta$ のとき,\\
$\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3 + \sin\theta_4$ %
の最大値を $\theta_5$ で表せ.
\item
$\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3 + \sin\theta_4 + \sin\theta_5$ の最大値を求めよ.
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
$xyz$空間内に定点$\A(1,\,\,1,\,\,0),\,\,\B(-1,\,\,1,\,\,0)$がある.
いま点Pが$yz$平面上の半円
\[
x = 0,\quad
y^2 + z^2 = 2,\quad
y \leqq 0
\]
の上を動くとき,
$\triangle\P\A\B$の周および内部の点の全体でつくられる立体 $K$ を考える.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
平面 $x=t$ による $K$ の切り口はどのような図形か.
\item
$K$ の体積を求めよ.
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
袋Aには1から$n$までの番号のついた$n$枚のカードがはいっており,
袋Bには1から$m$までの番号のついた$m$枚のカードがはいっている.
ただし,$m > n$ とする.
$n$人の人が1回目に袋Aから無作為にカードを1枚ずつとり,
2回目に袋Bから無作為にカードを1枚ずつとる.
ただし,とりだしたカードはもとに戻さないものとする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
すべての人について2回目のカードの番号が1回目のカードの番号より大きいという事象の確率 $P_{m,\,\,n}$ を求めよ.
\item
$m = 2n$ のときの $P_{n,\,\,2n}$ に対して,
$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \log P_{n,\,\,2n}$ を求めよ.\\
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\end{document}