すうじあむ

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $f(x) = 2x^3 + x^2 - 3$ とおく． 直線 $y = mx$ が曲線 $y = f(x)$ と相異なる3点で交わるような 実数 $m$ の値の範囲を求めよ． \hfill(配点率20％) \vskip 1zw \hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\sffamily \bfseries 2005 文系 第2問}とほとんど同じ． \vskip 1zw 以下， {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2005年度前期理系}の全問題を挙げる． \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm $f(x) = 2x^3 + x^2 - 3$ とおく． 直線 $y = mx$ が曲線 $y = f(x)$ と相異なる3点で交わるような 実数 $m$ の値の範囲を求めよ． \hfill(配点率20％) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 正の整数 $n$ に対して \[ S(n) = \sum_{p=1}^{2n} \frac{(-1)^{p-1}}{p},\quad T(n) = \sum_{q=1}^n \frac{1}{n+q} \] とおく．等式 $S(n) = T(n)\,\,\,(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が 成り立つことを， 数学的帰納法を用いて示せ． \hfill(配点率20％) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 空間内の4点A，B，C，Dが \begin{gather*} \A\B = 1,\quad \A\C = 2,\quad \A\D = 3 \\ \angle\B\A\C = \angle\C\A\D = 60^\circ,\quad \angle\D\A\B = 90^\circ \end{gather*} をみたしている． この4点から等距離にある点をEとする． 線分AEの長さを求めよ． \hfill(配点率20点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $\theta$ を $0 \leqq \theta < 2\pi$ をみたす実数とする． 時刻 $t$ における座標が \[ \left\{ \begin{array}{l} \smallskip x = t\cos\theta \\ y = 1 - t^2 + t\sin\theta \end{array} \right. \] で与えられるような動点$\P(x,\,\,y)$を考える． $t$ が実数全体を動くとき， 点Pが描く曲線を $C$ とする． $C$ が$x$軸の $x \geqq 0$ の部分と交わる点をQとする． 以下の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　$\theta = \dfrac{\pi}{4}$ のとき， Qの$x$座標を求めよ． \item 　$\theta$ が変化すると曲線 $C$ も変化する． $\theta$ が $0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲を変化するとき， $C$ が通過する範囲を$xy$平面上に図示せよ． \item 　$\theta$ が変化すると点Qも変化する． Qの$x$座標が最大となるような \\ $\theta\,\,\,(0 \leqq \theta < 2\pi)$ に ついて $\tan\theta$ の値を求めよ． \hfill(配点率20％) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm $n$ を正の整数，$a$ を正の実数とする． 曲線 $y = x^n$ と曲線 $y = a\log x$ が， 点Pで共通の接線をもつとする． ただし， 対数は自然対数である． 点Pの$x$座標を $t$ とするとき， 以下の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　$a,\,\,t$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ． \item 　曲線 $y = x^n$ と$x$軸および直線 $x = t$ で囲まれる部分の 面積を $S_1$ とする．また，\smallskip 曲線 $y = a\log x$ と$x$軸および直線 $x = t$ で囲まれる部分の 面積を $S_2$ とする． このとき，$\dfrac{S_2}{S_1}$ を $n$ を用いて表せ． \item 　$x \geqq 0$ のとき，不等式 \[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \leqq e^{-x} + x - 1 \leqq \frac{x^2}{2} \] が成り立つことを， 次の({\sffamily a}),\,\,({\sffamily b})に分けて示せ．\smallskip ただし，$e$は自然対数の底とする． \begin{enumerate} \item[({\sffamily a})] 　$x \geqq 0$ のとき， 不等式 $e^{-x} + x - 1 \leqq \dfrac{x^2}{2}$ が 成り立つことを示せ． \item[({\sffamily b})] 　$x \geqq 0$ のとき， 不等式 $\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{6} \leqq e^{-x} + x - 1$ が 成り立つことを示せ． \end{enumerate} \item 　極限値 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{S_2}{S_1}$ を求めよ． \hfill(配点率20％) \end{enumerate} \end{document}