大阪大学 前期理系 2005年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2005年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $f(x) = 2x^3 + x^2 - 3$ とおく. 直線 $y = mx$ が曲線 $y = f(x)$ と相異なる3点で交わるような 実数 $m$ の値の範囲を求めよ. \hfill(配点率20%) \vskip 1zw \hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\sffamily \bfseries 2005 文系 第2問}とほとんど同じ. \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2005年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm $f(x) = 2x^3 + x^2 - 3$ とおく. 直線 $y = mx$ が曲線 $y = f(x)$ と相異なる3点で交わるような 実数 $m$ の値の範囲を求めよ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 正の整数 $n$ に対して \[ S(n) = \sum_{p=1}^{2n} \frac{(-1)^{p-1}}{p},\quad T(n) = \sum_{q=1}^n \frac{1}{n+q} \] とおく.等式 $S(n) = T(n)\,\,\,(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が 成り立つことを, 数学的帰納法を用いて示せ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 空間内の4点A,B,C,Dが \begin{gather*} \A\B = 1,\quad \A\C = 2,\quad \A\D = 3 \\ \angle\B\A\C = \angle\C\A\D = 60^\circ,\quad \angle\D\A\B = 90^\circ \end{gather*} をみたしている. この4点から等距離にある点をEとする. 線分AEの長さを求めよ. \hfill(配点率20点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $\theta$ を $0 \leqq \theta < 2\pi$ をみたす実数とする. 時刻 $t$ における座標が \[ \left\{ \begin{array}{l} \smallskip x = t\cos\theta \\ y = 1 - t^2 + t\sin\theta \end{array} \right. \] で与えられるような動点$\P(x,\,\,y)$を考える. $t$ が実数全体を動くとき, 点Pが描く曲線を $C$ とする. $C$ が$x$軸の $x \geqq 0$ の部分と交わる点をQとする. 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ のとき, Qの$x$座標を求めよ. \item  $\theta$ が変化すると曲線 $C$ も変化する. $\theta$ が $0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲を変化するとき, $C$ が通過する範囲を$xy$平面上に図示せよ. \item  $\theta$ が変化すると点Qも変化する. Qの$x$座標が最大となるような \\ $\theta\,\,\,(0 \leqq \theta < 2\pi)$ に ついて $\tan\theta$ の値を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm $n$ を正の整数,$a$ を正の実数とする. 曲線 $y = x^n$ と曲線 $y = a\log x$ が, 点Pで共通の接線をもつとする. ただし, 対数は自然対数である. 点Pの$x$座標を $t$ とするとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a,\,\,t$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ. \item  曲線 $y = x^n$ と$x$軸および直線 $x = t$ で囲まれる部分の 面積を $S_1$ とする.また,\smallskip 曲線 $y = a\log x$ と$x$軸および直線 $x = t$ で囲まれる部分の 面積を $S_2$ とする. このとき,$\dfrac{S_2}{S_1}$ を $n$ を用いて表せ. \item  $x \geqq 0$ のとき,不等式 \[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \leqq e^{-x} + x - 1 \leqq \frac{x^2}{2} \] が成り立つことを, 次の({\sffamily a}),\,\,({\sffamily b})に分けて示せ.\smallskip ただし,$e$は自然対数の底とする. \begin{enumerate} \item[({\sffamily a})]  $x \geqq 0$ のとき, 不等式 $e^{-x} + x - 1 \leqq \dfrac{x^2}{2}$ が 成り立つことを示せ. \item[({\sffamily b})]  $x \geqq 0$ のとき, 不等式 $\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{6} \leqq e^{-x} + x - 1$ が 成り立つことを示せ. \end{enumerate} \item  極限値 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{S_2}{S_1}$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}