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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
2005年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
微分法の応用
|
状態 |
 |
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\begin{document}
\setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw}
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$f(x) = 2x^3 + x^2 - 3$ とおく.
直線 $y = mx$ が曲線 $y = f(x)$ と相異なる3点で交わるような
実数 $m$ の値の範囲を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\vskip 1zw
\hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\sffamily \bfseries 2005 文系 第2問}とほとんど同じ.
\vskip 1zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2005年度前期理系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
$f(x) = 2x^3 + x^2 - 3$ とおく.
直線 $y = mx$ が曲線 $y = f(x)$ と相異なる3点で交わるような
実数 $m$ の値の範囲を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
正の整数 $n$ に対して
\[
S(n) = \sum_{p=1}^{2n} \frac{(-1)^{p-1}}{p},\quad
T(n) = \sum_{q=1}^n \frac{1}{n+q}
\]
とおく.等式 $S(n) = T(n)\,\,\,(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が
成り立つことを,
数学的帰納法を用いて示せ.
\hfill(配点率20%)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
空間内の4点A,B,C,Dが
\begin{gather*}
\A\B = 1,\quad
\A\C = 2,\quad
\A\D = 3 \\
\angle\B\A\C = \angle\C\A\D = 60^\circ,\quad
\angle\D\A\B = 90^\circ
\end{gather*}
をみたしている.
この4点から等距離にある点をEとする.
線分AEの長さを求めよ.
\hfill(配点率20点)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
$\theta$ を $0 \leqq \theta < 2\pi$ をみたす実数とする.
時刻 $t$ における座標が
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\smallskip
x = t\cos\theta \\
y = 1 - t^2 + t\sin\theta
\end{array}
\right.
\]
で与えられるような動点$\P(x,\,\,y)$を考える.
$t$ が実数全体を動くとき,
点Pが描く曲線を $C$ とする.
$C$ が$x$軸の $x \geqq 0$ の部分と交わる点をQとする.
以下の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\theta = \dfrac{\pi}{4}$ のとき,
Qの$x$座標を求めよ.
\item
$\theta$ が変化すると曲線 $C$ も変化する.
$\theta$ が $0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲を変化するとき,
$C$ が通過する範囲を$xy$平面上に図示せよ.
\item
$\theta$ が変化すると点Qも変化する.
Qの$x$座標が最大となるような \\
$\theta\,\,\,(0 \leqq \theta < 2\pi)$ に
ついて $\tan\theta$ の値を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
$n$ を正の整数,$a$ を正の実数とする.
曲線 $y = x^n$ と曲線 $y = a\log x$ が,
点Pで共通の接線をもつとする.
ただし,
対数は自然対数である.
点Pの$x$座標を $t$ とするとき,
以下の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a,\,\,t$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ.
\item
曲線 $y = x^n$ と$x$軸および直線 $x = t$ で囲まれる部分の
面積を $S_1$ とする.また,\smallskip
曲線 $y = a\log x$ と$x$軸および直線 $x = t$ で囲まれる部分の
面積を $S_2$ とする.
このとき,$\dfrac{S_2}{S_1}$ を $n$ を用いて表せ.
\item
$x \geqq 0$ のとき,不等式
\[
\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}
\leqq e^{-x} + x - 1
\leqq \frac{x^2}{2}
\]
が成り立つことを,
次の({\sffamily a}),\,\,({\sffamily b})に分けて示せ.\smallskip
ただし,$e$は自然対数の底とする.
\begin{enumerate}
\item[({\sffamily a})]
$x \geqq 0$ のとき,
不等式 $e^{-x} + x - 1 \leqq \dfrac{x^2}{2}$ が
成り立つことを示せ.
\item[({\sffamily b})]
$x \geqq 0$ のとき,
不等式 $\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{6} \leqq e^{-x} + x - 1$ が
成り立つことを示せ.
\end{enumerate}
\item
極限値 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{S_2}{S_1}$ を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\end{document}