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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
2008年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
行列と連立一次方程式
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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\setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw}
2次の正方行列 $A_0,\,\,A_1,\,\,A_2,\,\,A_3,\,\,\cdotss$ を
\[
A_0 = O,\quad
A_n = B + A_{n-1}C \quad(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)
\]
で定める.
ただし,$O$ は2次の零行列,
$B$ と $C$ は2次の正方行列とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$A_n(E - C)$ を $B$ と $C$ を用いて表せ.
ここで $E$ は2次の単位行列とする.
\item
$B$ と $C$ を
\[
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad
C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
\]
とするとき,$A_{3n}$ を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2008年度前期理系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
2次の正方行列 $A_0,\,\,A_1,\,\,A_2,\,\,A_3,\,\,\cdotss$ を
\[
A_0 = O,\quad
A_n = B + A_{n-1}C \quad(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)
\]
で定める.
ただし,$O$ は2次の零行列,
$B$ と $C$ は2次の正方行列とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$A_n(E - C)$ を $B$ と $C$ を用いて表せ.
ここで $E$ は2次の単位行列とする.
\item
$B$ と $C$ を
\[
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad
C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
\]
とするとき,$A_{3n}$ を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
点Oで交わる2つの半直線OX,OYがあって $\angle\X\O\Y = 60^\circ$ とする.
2点A,BがOX上にO,A,Bの順に,
また,2点C,DがOY上にO,C,Dの順に並んでいるとして,
線分ACの中点をM,
線分BDの中点をNとする.
線分ABの長さを $s$,
線分CDの長さを $t$ とするとき,
以下の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
線分MNの長さを $s$ と $t$ を用いて表せ.
\item
点A,BとC,Dが,
$s^2 + t^2 = 1$ を満たしながら動くとき,
線分MNの長さの最大値を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$N$ を2以上の自然数とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
関数 $f(x) = (N - x)\log x$ を $1 \leqq x \leqq N$ の範囲で考える.
このとき曲線 $y = f(x)$ は上に凸であり,
関数 $f(x)$ は極大値を1つだけとる.
このことを示せ.
\item
自然数の列 $a_1,\,\,a_2,\,\,\cdotss,\,\,a_N$ を
\[
a_1 = n^{N-n} \quad(n = 1,\,\,2,\,\,\cdotss,\,\,N)
\]
で定める.$a_1,\,\,a_2,\,\,\cdotss,\,\,a_N$ のうちで最大の値を $M$ とし,
$M = a_n$ となる $n$ の個数を $k$ とする.
このとき $k \leqq 2$ であることを示せ.
\item
(2)で $k = 2$ となるのは,
$N$ が2のときだけであることを示せ.\\
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
$t$ を負の実数とし,
$xy$平面上で曲線 $y = 2^{2x+2t}$ と曲線 $y = 2^{x+3t}$ および$y$軸で囲まれる部分を $D$ とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$D$ を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V(t)$ を求めよ.
\item
$t$ が負の実数の範囲を動くとき,
$V(t)$ の最大値を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
1枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い,
表が500回続けて出たときに終わるものとする.
$n$ を500以上の自然数とするとき,
この反復試行が$n$回目で終わる確率を $p(n)$ とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$501 \leqq n \leqq 1000$ のとき,
$p(n)$ は $n$ に関係なく一定の値になることを示し,
またその値を求めよ.
\item
$p(1002) - p(1001)$ の値を求めよ.
\item
$1002 \leqq n \leqq 1500$ のとき,
$p(n + 1) - p(n)$ の値を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\end{document}