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解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
前期理系 |
| 年度 |
2008年度 |
| 問No |
問1 |
| 学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
| カテゴリ |
行列と連立一次方程式
|
| 状態 |
   |
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\begin{document}
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\setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw}
2次の正方行列 $A_0,\,\,A_1,\,\,A_2,\,\,A_3,\,\,\cdotss$ を
\[
A_0 = O,\quad
A_n = B + A_{n-1}C \quad(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)
\]
で定める．
ただし，$O$ は2次の零行列，
$B$ と $C$ は2次の正方行列とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$A_n(E - C)$ を $B$ と $C$ を用いて表せ．
ここで $E$ は2次の単位行列とする．
\item
$B$ と $C$ を
\[
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad
C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
\]
とするとき，$A_{3n}$ を求めよ．
\hfill(配点率20％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下，
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2008年度前期理系}の全問題を挙げる．
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
2次の正方行列 $A_0,\,\,A_1,\,\,A_2,\,\,A_3,\,\,\cdotss$ を
\[
A_0 = O,\quad
A_n = B + A_{n-1}C \quad(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)
\]
で定める．
ただし，$O$ は2次の零行列，
$B$ と $C$ は2次の正方行列とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$A_n(E - C)$ を $B$ と $C$ を用いて表せ．
ここで $E$ は2次の単位行列とする．
\item
$B$ と $C$ を
\[
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad
C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
\]
とするとき，$A_{3n}$ を求めよ．
\hfill(配点率20％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
点Oで交わる2つの半直線OX，OYがあって $\angle\X\O\Y = 60^\circ$ とする．
2点A，BがOX上にO，A，Bの順に，
また，2点C，DがOY上にO，C，Dの順に並んでいるとして，
線分ACの中点をM，
線分BDの中点をNとする．
線分ABの長さを $s$，
線分CDの長さを $t$ とするとき，
以下の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
線分MNの長さを $s$ と $t$ を用いて表せ．
\item
点A，BとC，Dが，
$s^2 + t^2 = 1$ を満たしながら動くとき，
線分MNの長さの最大値を求めよ．
\hfill(配点率20％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$N$ を2以上の自然数とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
関数 $f(x) = (N - x)\log x$ を $1 \leqq x \leqq N$ の範囲で考える．
このとき曲線 $y = f(x)$ は上に凸であり，
関数 $f(x)$ は極大値を1つだけとる．
このことを示せ．
\item
自然数の列 $a_1,\,\,a_2,\,\,\cdotss,\,\,a_N$ を
\[
a_1 = n^{N-n} \quad(n = 1,\,\,2,\,\,\cdotss,\,\,N)
\]
で定める．$a_1,\,\,a_2,\,\,\cdotss,\,\,a_N$ のうちで最大の値を $M$ とし，
$M = a_n$ となる $n$ の個数を $k$ とする．
このとき $k \leqq 2$ であることを示せ．
\item
(2)で $k = 2$ となるのは，
$N$ が2のときだけであることを示せ．\\
\hfill(配点率20％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
$t$ を負の実数とし，
$xy$平面上で曲線 $y = 2^{2x+2t}$ と曲線 $y = 2^{x+3t}$ および$y$軸で囲まれる部分を $D$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$D$ を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V(t)$ を求めよ．
\item
$t$ が負の実数の範囲を動くとき，
$V(t)$ の最大値を求めよ．
\hfill(配点率20％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
1枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い，
表が500回続けて出たときに終わるものとする．
$n$ を500以上の自然数とするとき，
この反復試行が$n$回目で終わる確率を $p(n)$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$501 \leqq n \leqq 1000$ のとき，
$p(n)$ は $n$ に関係なく一定の値になることを示し，
またその値を求めよ．
\item
$p(1002) - p(1001)$ の値を求めよ．
\item
$1002 \leqq n \leqq 1500$ のとき，
$p(n + 1) - p(n)$ の値を求めよ．
\hfill(配点率20％)
\end{enumerate}
\end{document}
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