大阪大学 前期理系 2008年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2008年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 2次の正方行列 $A_0,\,\,A_1,\,\,A_2,\,\,A_3,\,\,\cdotss$ を \[ A_0 = O,\quad A_n = B + A_{n-1}C \quad(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots) \] で定める. ただし,$O$ は2次の零行列, $B$ と $C$ は2次の正方行列とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $A_n(E - C)$ を $B$ と $C$ を用いて表せ. ここで $E$ は2次の単位行列とする. \item  $B$ と $C$ を \[ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] とするとき,$A_{3n}$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2008年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 2次の正方行列 $A_0,\,\,A_1,\,\,A_2,\,\,A_3,\,\,\cdotss$ を \[ A_0 = O,\quad A_n = B + A_{n-1}C \quad(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots) \] で定める. ただし,$O$ は2次の零行列, $B$ と $C$ は2次の正方行列とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $A_n(E - C)$ を $B$ と $C$ を用いて表せ. ここで $E$ は2次の単位行列とする. \item  $B$ と $C$ を \[ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] とするとき,$A_{3n}$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 点Oで交わる2つの半直線OX,OYがあって $\angle\X\O\Y = 60^\circ$ とする. 2点A,BがOX上にO,A,Bの順に, また,2点C,DがOY上にO,C,Dの順に並んでいるとして, 線分ACの中点をM, 線分BDの中点をNとする. 線分ABの長さを $s$, 線分CDの長さを $t$ とするとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  線分MNの長さを $s$ と $t$ を用いて表せ. \item  点A,BとC,Dが, $s^2 + t^2 = 1$ を満たしながら動くとき, 線分MNの長さの最大値を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $N$ を2以上の自然数とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  関数 $f(x) = (N - x)\log x$ を $1 \leqq x \leqq N$ の範囲で考える. このとき曲線 $y = f(x)$ は上に凸であり, 関数 $f(x)$ は極大値を1つだけとる. このことを示せ. \item  自然数の列 $a_1,\,\,a_2,\,\,\cdotss,\,\,a_N$ を \[ a_1 = n^{N-n} \quad(n = 1,\,\,2,\,\,\cdotss,\,\,N) \] で定める.$a_1,\,\,a_2,\,\,\cdotss,\,\,a_N$ のうちで最大の値を $M$ とし, $M = a_n$ となる $n$ の個数を $k$ とする. このとき $k \leqq 2$ であることを示せ. \item  (2)で $k = 2$ となるのは, $N$ が2のときだけであることを示せ.\\ \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $t$ を負の実数とし, $xy$平面上で曲線 $y = 2^{2x+2t}$ と曲線 $y = 2^{x+3t}$ および$y$軸で囲まれる部分を $D$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $D$ を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V(t)$ を求めよ. \item  $t$ が負の実数の範囲を動くとき, $V(t)$ の最大値を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 1枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い, 表が500回続けて出たときに終わるものとする. $n$ を500以上の自然数とするとき, この反復試行が$n$回目で終わる確率を $p(n)$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $501 \leqq n \leqq 1000$ のとき, $p(n)$ は $n$ に関係なく一定の値になることを示し, またその値を求めよ. \item  $p(1002) - p(1001)$ の値を求めよ. \item  $1002 \leqq n \leqq 1500$ のとき, $p(n + 1) - p(n)$ の値を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}