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解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
文系 |
| 年度 |
2008年度 |
| 問No |
問1 |
| 学部 |
文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
|
| カテゴリ |
ベクトル
|
| 状態 |
   |
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\begin{document}
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点Oで交わる2つの半直線OX，OYがあって $\angle\X\O\Y = 60^\circ$ とする．
2点A，BがOX上にO，A，Bの順に，
また，2点C，DがOY上にO，C，Dの順に並んでいるとして，
線分ACの中点をM，
線分BDの中点をNとする．
線分ABの長さを $s$，
線分CDの長さを $t$ とするとき，
以下の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
線分MNの長さを $s$ と $t$ を用いて表せ．
\item
点A，BとC，Dが，
$s^2 + t^2 = 1$ を満たしながら動くとき，
線分MNの長さの最大値を求めよ．
\hfill(配点率30％)
\vskip 1zw
\hfill{\sffamily ※ {\color[named]{OrangeRed}\bfseries 2008 前期 理系 第2問}と共通}
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下，
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2008年度前期文系}の全問題を挙げる．
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
点Oで交わる2つの半直線OX，OYがあって $\angle\X\O\Y = 60^\circ$ とする．
2点A，BがOX上にO，A，Bの順に，
また，2点C，DがOY上にO，C，Dの順に並んでいるとして，
線分ACの中点をM，
線分BDの中点をNとする．
線分ABの長さを $s$，
線分CDの長さを $t$ とするとき，
以下の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
線分MNの長さを $s$ と $t$ を用いて表せ．
\item
点A，BとC，Dが，
$s^2 + t^2 = 1$ を満たしながら動くとき，
線分MNの長さの最大値を求めよ．
\hfill(配点率30％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
実数 $a,\,\,b$ を係数に含む3次式 $P(x) = x^3 + 3ax^2 + 3ax + b$ を
考える．
$P(x)$ の複素数の範囲における因数分解を
\begin{align*}
P(x)
= (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)
\end{align*}
とする．
$\alpha,\,\,\beta,\,\,\gamma$ の間に $\alpha + \gamma = 2\beta$ という関係が
あるとき，
以下の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$b$ を $a$ の式で表せ．
\item
$\alpha,\,\,\beta,\,\,\gamma$ がすべて実数であるとする．
このとき $a$ のとりうる値の範囲を求めよ．
\item
(1)で求めた $a$ の式を $f(a)$ とする．
$a$ が(2)の範囲を動くとき，
関数 $b = f(a)$ のグラフを書け．
\hfill(配点率35％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$a$ を正の定数とし，
\begin{align*}
f(x)
= \zettaiti{\zettaiti{x - 3a} - a},\quad
g(x)
= -x^2 + 6ax - 5a^2 + a
\end{align*}
を考える．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
方程式 $f(x) = a$ の解を求めよ．
\item
$y = f(x)$ のグラフと $y = g(x)$ のグラフで囲まれた部分の
面積 $S$ を求めよ．
\hfill(配点率35％)
\end{enumerate}
\end{document}
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