大阪大学 文系 2008年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 2008年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{-1mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{vector3} \usepackage{custom_mori} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{pifont} \usepackage{amscd} \usepackage{color} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 点Oで交わる2つの半直線OX,OYがあって $\angle\X\O\Y = 60^\circ$ とする. 2点A,BがOX上にO,A,Bの順に, また,2点C,DがOY上にO,C,Dの順に並んでいるとして, 線分ACの中点をM, 線分BDの中点をNとする. 線分ABの長さを $s$, 線分CDの長さを $t$ とするとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  線分MNの長さを $s$ と $t$ を用いて表せ. \item  点A,BとC,Dが, $s^2 + t^2 = 1$ を満たしながら動くとき, 線分MNの長さの最大値を求めよ. \hfill(配点率30%) \vskip 1zw \hfill{\sffamily ※ {\color[named]{OrangeRed}\bfseries 2008 前期 理系 第2問}と共通} \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2008年度前期文系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 点Oで交わる2つの半直線OX,OYがあって $\angle\X\O\Y = 60^\circ$ とする. 2点A,BがOX上にO,A,Bの順に, また,2点C,DがOY上にO,C,Dの順に並んでいるとして, 線分ACの中点をM, 線分BDの中点をNとする. 線分ABの長さを $s$, 線分CDの長さを $t$ とするとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  線分MNの長さを $s$ と $t$ を用いて表せ. \item  点A,BとC,Dが, $s^2 + t^2 = 1$ を満たしながら動くとき, 線分MNの長さの最大値を求めよ. \hfill(配点率30%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 実数 $a,\,\,b$ を係数に含む3次式 $P(x) = x^3 + 3ax^2 + 3ax + b$ を 考える. $P(x)$ の複素数の範囲における因数分解を \begin{align*} P(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) \end{align*} とする. $\alpha,\,\,\beta,\,\,\gamma$ の間に $\alpha + \gamma = 2\beta$ という関係が あるとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $b$ を $a$ の式で表せ. \item  $\alpha,\,\,\beta,\,\,\gamma$ がすべて実数であるとする. このとき $a$ のとりうる値の範囲を求めよ. \item  (1)で求めた $a$ の式を $f(a)$ とする. $a$ が(2)の範囲を動くとき, 関数 $b = f(a)$ のグラフを書け. \hfill(配点率35%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $a$ を正の定数とし, \begin{align*} f(x) = \zettaiti{\zettaiti{x - 3a} - a},\quad g(x) = -x^2 + 6ax - 5a^2 + a \end{align*} を考える. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  方程式 $f(x) = a$ の解を求めよ. \item  $y = f(x)$ のグラフと $y = g(x)$ のグラフで囲まれた部分の 面積 $S$ を求めよ. \hfill(配点率35%) \end{enumerate} \end{document}