大阪大学 前期理系 2002年度 問1

解答を見る

解答作成者: 森 宏征

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2002年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 方程式と不等式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。

\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{-1mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{vector3} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{pifont} \usepackage{amscd} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 実数を係数とする3次方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ が異なる3つの実数解をもつとする. このとき,$a > 0,\,\,\,b > 0$ ならば, 少なくとも2つの実数解は負であることを示せ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2002年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 実数を係数とする3次方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ が異なる3つの実数解をもつとする. このとき,$a > 0,\,\,\,b > 0$ ならば, 少なくとも2つの実数解は負であることを示せ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 平面上に双曲線 $C : y = \dfrac{1}{x}$ を考える.\smallskip $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d$ を $d < c < 0 < b < a$ をみたす数とし, 曲線 $C$ 上の4点P,Q,R,Sをそれぞれ$x$座標が $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d$ であるような点としたとき, 四角形PQRSが長方形になっているとする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $b,\,\,c,\,\,d$ を $a$ を用いて表せ. \item  線分PRと$x$軸との交点をT, 線分QSと$y$軸との交点をUとするとき, 線分TUと曲線 $C$ が共通点をもたないような $a$ の値の範囲を求めよ. \item  $a$ が(2)の範囲にあるとき, 3線分PT,TU,UQと曲線 $C$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ を求めよ. \item  $a$ が(2)の範囲を動くとき, $S(a)$ の増減を調べその最大値を求めよ.\\ \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $\alpha$ を $\zettaiti{\alpha} = 1$ であるような複素数とし, 複素数の列 $\{z_n\}$ を \[ z_1 = 1,\quad z_2 = \frac{\alpha^4}{2},\quad \frac{z_n}{z_{n-1}} = \frac{\alpha^2}{4} \cfrac{\,\overline{\mathstrut z_{n-2}}\,} {\overline{\mathstrut z_{n-1}}} \quad (n=3,\,\,4,\,\,5,\,\,\cdots) \] で定める. ただし,$\overline{\mathstrut z_n}$ は複素数 $z_n$ の共役な複素数とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  各 $n$ に対し,$z_n$ を求めよ. \item  $z_n$ の実部と虚部をそれぞれ $x_n,\,\,y_n$ とし,\smallskip $\alpha = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2}i$ とおくとき, 無限級数の和 \[ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k,\quad \sum\limits_{k = 1}^\infty y_k \] をそれぞれ求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $n$ を $n \geqq 7$ をみたす整数とし, 1つのさいころを投げる試行を$n$回くり返す. このとき,$2 \leqq k \leqq n$ をみたす整数 $k$ に対し, 「$n$回の試行のうち,同じ目が出るどの2つの試行も $k$ 以上離れている」 という事象が起こる確率を $p_k$ と表す. ただし,$i$番目の試行と$j$番目の試行について, この2つの試行は $\zettaiti{i - j}$ だけ離れているということにする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $p_2$ の値を求めよ. \item  $k \geqq 3$ のとき,$p_k$ の値を求めよ. \item  「$n$回の試行において,同じ目が続くことはなく, しかも同じ目が出る試行の組でちょうど2だけ離れたものが少なくとも1組存在する」 という事象が起こる確率を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 平面上に原点Oを中心とする半径1の円 \smallskip$C_1$ % と点$\P(0\,,\,\sin\alpha)$を中心とする半径1の円 $C_2$ がある.\smallskip ただし,$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ とする. 円 $C_2$ と$x$軸との交点をA,Bとし, A,Bを通り$y$軸と平行な直線をそれぞれ $l_\A,\,\,l_\B$ とする. 2直線 $l_\A,\,\,l_\B$ ではさまれた領域の部分で, 円 $C_1$ の外部で円 $C_2$ の内部であるものを $D_1$, 円 $C_2$ の外部で円 $C_1$ の内部であるものを $D_2$ とする. いま,$D_1,\,\,D_2$ をそれぞれ$x$軸のまわりに1回転させてできる 回転体の体積を $V_1(\alpha),\,\,V_2(\alpha)$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $V_1(\alpha),\,\,V_1(\alpha) - V_2(\alpha)$ % をそれぞれ $\alpha$ を用いて表せ. \item  $\alpha$ が $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲を動くとき, $V_1(\alpha) - V_2(\alpha)$ の最大値を求めよ.\\ \hfill (配点率20%) \end{enumerate} \end{document}