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大阪大学 文系 2004年度 問1
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解答作成者: 森 宏征
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入試情報
| 大学名 | 大阪大学 |
|---|---|
| 学科・方式 | 文系 |
| 年度 | 2004年度 |
| 問No | 問1 |
| 学部 | 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 |
| カテゴリ | 微分法の応用 |
| 状態 |    |
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\begin{document}
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3次関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + bx + c$ に関して以下の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$f(x)$ が極値をもつための条件を，
$f(x)$ の係数を用いて表せ．
\item
$f(x)$ が $x = \alpha$ で極大，
$x = \beta$ で極小になるとき，
点$(\alpha,\,\,f(\alpha))$と点$(\beta,\,\,f(\beta))$を結ぶ直線の傾き $m$ %
を $f(x)$ の係数を用いて表せ．\smallskip
また，$y = f(x)$ のグラフは平行移動によって %
$y = x^3 + \dfrac{3}{2}mx$ のグラフに移ることを示せ．\\
\hfill (配点率30％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下，
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2004年度前期文系}の全問題を挙げる．
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
3次関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + bx + c$ に関して以下の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$f(x)$ が極値をもつための条件を，
$f(x)$ の係数を用いて表せ．
\item
$f(x)$ が $x = \alpha$ で極大，
$x = \beta$ で極小になるとき，
点$(\alpha,\,\,f(\alpha))$と点$(\beta,\,\,f(\beta))$を結ぶ直線の傾き $m$ %
を $f(x)$ の係数を用いて表せ．\smallskip
また，$y = f(x)$ のグラフは平行移動によって %
$y = x^3 + \dfrac{3}{2}mx$ のグラフに移ることを示せ．\\
\hfill (配点率30％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 2mm
\noindent%
\begin{minipage}{300pt}
座標平面上で不等式 $y \geqq x^2$ の表す領域を $D$ とする．
$D$ 内にあり$y$軸上に中心をもち原点を通る円のうち，
最も半径の大きい円を $C_1$ とする．
自然数 $n$ について，
円 $C_n$ が定まったとき，
$C_n$ の上部で $C_n$ に外接する円で，
$D$ 内にあり$y$軸上に中心をもつもののうち，
最も半径の大きい円を $C_{n+1}$ とする．
$C_n$ の半径を $a_n$ とし，
$b_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a_1$ を求めよ．
\item
$n \geqq 2$ のとき $a_n$ を $b_{n-1}$ で表せ．
\item
$a_n$ を $n$ の式で表せ．
\hfill(配点率35％)
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{110pt}
\begin{flushright}
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%
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% CIRCLE 2 0 3 0
% 4 1101 1614 1101 1911 1101 1911 1101 1911
%
\special{pn 8}%
\special{ar 1102 1614 298 298 0.0000000 6.2831853}%
% FUNC 2 0 3 0
% 9 400 600 1803 2204 1102 2103 1202 2103 1102 2003 400 600 1803 2204 0 3 0 0
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%
\special{pn 8}%
\special{ar 1102 820 496 496 5.8981682 6.2831853}%
\special{ar 1102 820 496 496 0.0000000 3.5388711}%
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\end{picture}%
\end{flushright}
\end{minipage}
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$n$ を自然数とする．
プレイヤー$A$，$B$がサイコロを交互に投げるゲームをする．
最初は$A$が投げ，先に1の目を出した方が勝ちとして終わる．
ただし，$A$が$n$回投げても勝負がつかない場合は$B$の勝ちとする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$A$の$k$投目$(1 \leqq k \leqq n)$で$A$が勝つ確率を求めよ．
\item
このゲームにおいて$A$が勝つ確率 $P_n$ を求めよ．
\item
$P_n > \dfrac{1}{2}$ となるような最小の $n$ の値を求めよ．\smallskip
ただし，$\log_{10}2 = 0.3010,\\
\log_{10}3 = 0.4771$ として計算してよい．
\hfill(配点率35％)
\end{enumerate}
\end{document}
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