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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
文系 |
年度 |
2004年度 |
問No |
問1 |
学部 |
文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
|
カテゴリ |
微分法の応用
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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\setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw}
3次関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + bx + c$ に関して以下の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$f(x)$ が極値をもつための条件を,
$f(x)$ の係数を用いて表せ.
\item
$f(x)$ が $x = \alpha$ で極大,
$x = \beta$ で極小になるとき,
点$(\alpha,\,\,f(\alpha))$と点$(\beta,\,\,f(\beta))$を結ぶ直線の傾き $m$ %
を $f(x)$ の係数を用いて表せ.\smallskip
また,$y = f(x)$ のグラフは平行移動によって %
$y = x^3 + \dfrac{3}{2}mx$ のグラフに移ることを示せ.\\
\hfill (配点率30%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2004年度前期文系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
3次関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + bx + c$ に関して以下の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$f(x)$ が極値をもつための条件を,
$f(x)$ の係数を用いて表せ.
\item
$f(x)$ が $x = \alpha$ で極大,
$x = \beta$ で極小になるとき,
点$(\alpha,\,\,f(\alpha))$と点$(\beta,\,\,f(\beta))$を結ぶ直線の傾き $m$ %
を $f(x)$ の係数を用いて表せ.\smallskip
また,$y = f(x)$ のグラフは平行移動によって %
$y = x^3 + \dfrac{3}{2}mx$ のグラフに移ることを示せ.\\
\hfill (配点率30%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 2mm
\noindent%
\begin{minipage}{300pt}
座標平面上で不等式 $y \geqq x^2$ の表す領域を $D$ とする.
$D$ 内にあり$y$軸上に中心をもち原点を通る円のうち,
最も半径の大きい円を $C_1$ とする.
自然数 $n$ について,
円 $C_n$ が定まったとき,
$C_n$ の上部で $C_n$ に外接する円で,
$D$ 内にあり$y$軸上に中心をもつもののうち,
最も半径の大きい円を $C_{n+1}$ とする.
$C_n$ の半径を $a_n$ とし,
$b_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a_1$ を求めよ.
\item
$n \geqq 2$ のとき $a_n$ を $b_{n-1}$ で表せ.
\item
$a_n$ を $n$ の式で表せ.
\hfill(配点率35%)
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{110pt}
\begin{flushright}
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%
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% CIRCLE 2 0 3 0
% 4 1101 1614 1101 1911 1101 1911 1101 1911
%
\special{pn 8}%
\special{ar 1102 1614 298 298 0.0000000 6.2831853}%
% FUNC 2 0 3 0
% 9 400 600 1803 2204 1102 2103 1202 2103 1102 2003 400 600 1803 2204 0 3 0 0
% 1/2x^2
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% 4 1101 820 1101 1316 274 473 2093 418
%
\special{pn 8}%
\special{ar 1102 820 496 496 5.8981682 6.2831853}%
\special{ar 1102 820 496 496 0.0000000 3.5388711}%
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\put(10.5000,-16.7300){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$C_2$}}}%
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% {\footnotesize$C_1$}
\put(10.4000,-20.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$C_1$}}}%
\end{picture}%
\end{flushright}
\end{minipage}
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$n$ を自然数とする.
プレイヤー$A$,$B$がサイコロを交互に投げるゲームをする.
最初は$A$が投げ,先に1の目を出した方が勝ちとして終わる.
ただし,$A$が$n$回投げても勝負がつかない場合は$B$の勝ちとする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$A$の$k$投目$(1 \leqq k \leqq n)$で$A$が勝つ確率を求めよ.
\item
このゲームにおいて$A$が勝つ確率 $P_n$ を求めよ.
\item
$P_n > \dfrac{1}{2}$ となるような最小の $n$ の値を求めよ.\smallskip
ただし,$\log_{10}2 = 0.3010,\\
\log_{10}3 = 0.4771$ として計算してよい.
\hfill(配点率35%)
\end{enumerate}
\end{document}