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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
文系 |
年度 |
2003年度 |
問No |
問1 |
学部 |
文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
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カテゴリ |
ベクトル
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状態 |
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全件表示
No |
メッセージ |
投稿者 |
日時 |
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1 |
この問題の(2)を前に背理法で解いている人がいました。 その時は解法を覚えていたのですが、忘れてしまいました。 そのような場合どのような解法になるのでしょうか? |
F(θ)鈴木 さん
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2011/10/27 22:19:13 |
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報告
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2 |
ものすごくレスが遅れてしまい恐縮です. 命題の否定をとるとどうなるのでしょう? 自ずと解決するのでは? |
森 宏征 さん
|
2012/02/20 03:51:46 |
|
報告
|
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{pifont}
\begin{document}
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平面ベクトル $\vecp = (p_1,\,\,p_2),\,\,\,\vecq = (q_1,\,\,q_2)$ に対して
\begin{align*}
\{\vecp,\,\,\vecq\} = p_1q_2 - p_2q_1
\end{align*}
と定める.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
平面ベクトル $\veca,\,\,\vecb,\,\,\vecc$ に対して
\begin{align*}
\{\veca,\,\,\vecb\} = l,\quad
\{\vecb,\,\,\vecc\} = m,\quad
\{\vecc,\,\,\veca\} = n
\end{align*}
とするとき
\begin{align*}
l\vecc + m\veca + n\vecb = \veco
\end{align*}
が成り立つことを示せ.
\item
(1)で $l,\,\,m,\,\,n$ がすべて正であるとする.\smallskip
このとき任意の平面ベクトル $\vecd$ は0以上の実数 $r,\,\,s,\,\,t$ を用いて
\begin{align*}
\vecd = r \veca + s \vecb + t \vecc
\end{align*}
と表すことができることを示せ.
\hfill(配点率30%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2003年度前期文系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
平面ベクトル $\vecp = (p_1,\,\,p_2),\,\,\,\vecq = (q_1,\,\,q_2)$ に対して
\begin{align*}
\{\vecp,\,\,\vecq\} = p_1q_2 - p_2q_1
\end{align*}
と定める.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
平面ベクトル $\veca,\,\,\vecb,\,\,\vecc$ に対して
\begin{align*}
\{\veca,\,\,\vecb\} = l,\quad
\{\vecb,\,\,\vecc\} = m,\quad
\{\vecc,\,\,\veca\} = n
\end{align*}
とするとき
\begin{align*}
l\vecc + m\veca + n\vecb = \veco
\end{align*}
が成り立つことを示せ.
\item
(1)で $l,\,\,m,\,\,n$ がすべて正であるとする.
このとき任意の平面ベクトル $\vecd$ は0以上の実数 $r,\,\,s,\,\,t$ を用いて
\begin{align*}
\vecd = r \veca + s \vecb + t \vecc
\end{align*}
と表すことができることを示せ.
\hfill(配点率30%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
自然数 $m$ に対して,
$m$ の相異なる素因数をすべてかけあわせたものを $f(m)$ で表すことにする.
たとえば $f(72) = 6$ である.
ただし $f(1) = 1$ とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$m,\,\,n$ を自然数,
$d$ を $m,\,\,n$ の最大公約数とするとき
\[
f(d)f(mn) = f(m)f(n)
\]
となることを示せ.
\item
2つの箱$A$,$B$のそれぞれに1番から10番までの番号札が1枚ずつ10枚入っている.
箱$A$,$B$から1枚ずつ札を取り出す.
箱$A$から取り出した札の番号を $m$,
箱$B$から取り出した札の番号を $n$ とするとき,
\[
f(mn) = f(m)f(n)
\]
となる確率 $p_1$ と
\[
2f(mn) = f(m)f(n)
\]
となる確率 $p_2$ を求めよ.
\hfill(配点率35%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
放物線 $C : y = -x^2 + 2x + 1$ と$x$軸の共有点を$\A(a,\,\,0),\,\,\B(b,\,\,0)$とし,$C$ と直線 $y = mx$ の共有点を%
$\P(\alpha,\,\,m\alpha),\,\,\Q(\beta,\,\,m\beta)$,
原点をOとする.
ただし,$a < b,\\
m \neq 0,\,\,\,\alpha < \beta$ とする.
線分OP,OAと $C$ で囲まれた図形の面積と線分OQ,OBと $C$ で囲まれた図形の面積が等しいとき,$m$ の値を求めよ.
\hfill(配点率35%)
\end{document}