大阪大学 文系 2003年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 2003年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
この問題の(2)を前に背理法で解いている人がいました。
その時は解法を覚えていたのですが、忘れてしまいました。
そのような場合どのような解法になるのでしょうか?
F(θ)鈴木 さん 2011/10/27 22:19:13 報告
2
ものすごくレスが遅れてしまい恐縮です.
命題の否定をとるとどうなるのでしょう?
自ずと解決するのでは?
森 宏征 さん 2012/02/20 03:51:46 報告
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{-1mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{vector3} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 平面ベクトル $\vecp = (p_1,\,\,p_2),\,\,\,\vecq = (q_1,\,\,q_2)$ に対して \begin{align*} \{\vecp,\,\,\vecq\} = p_1q_2 - p_2q_1 \end{align*} と定める. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  平面ベクトル $\veca,\,\,\vecb,\,\,\vecc$ に対して \begin{align*} \{\veca,\,\,\vecb\} = l,\quad \{\vecb,\,\,\vecc\} = m,\quad \{\vecc,\,\,\veca\} = n \end{align*} とするとき \begin{align*} l\vecc + m\veca + n\vecb = \veco \end{align*} が成り立つことを示せ. \item  (1)で $l,\,\,m,\,\,n$ がすべて正であるとする.\smallskip このとき任意の平面ベクトル $\vecd$ は0以上の実数 $r,\,\,s,\,\,t$ を用いて \begin{align*} \vecd = r \veca + s \vecb + t \vecc \end{align*} と表すことができることを示せ. \hfill(配点率30%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2003年度前期文系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 平面ベクトル $\vecp = (p_1,\,\,p_2),\,\,\,\vecq = (q_1,\,\,q_2)$ に対して \begin{align*} \{\vecp,\,\,\vecq\} = p_1q_2 - p_2q_1 \end{align*} と定める. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  平面ベクトル $\veca,\,\,\vecb,\,\,\vecc$ に対して \begin{align*} \{\veca,\,\,\vecb\} = l,\quad \{\vecb,\,\,\vecc\} = m,\quad \{\vecc,\,\,\veca\} = n \end{align*} とするとき \begin{align*} l\vecc + m\veca + n\vecb = \veco \end{align*} が成り立つことを示せ. \item  (1)で $l,\,\,m,\,\,n$ がすべて正であるとする. このとき任意の平面ベクトル $\vecd$ は0以上の実数 $r,\,\,s,\,\,t$ を用いて \begin{align*} \vecd = r \veca + s \vecb + t \vecc \end{align*} と表すことができることを示せ. \hfill(配点率30%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 自然数 $m$ に対して, $m$ の相異なる素因数をすべてかけあわせたものを $f(m)$ で表すことにする. たとえば $f(72) = 6$ である. ただし $f(1) = 1$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $m,\,\,n$ を自然数, $d$ を $m,\,\,n$ の最大公約数とするとき \[ f(d)f(mn) = f(m)f(n) \] となることを示せ. \item  2つの箱$A$,$B$のそれぞれに1番から10番までの番号札が1枚ずつ10枚入っている. 箱$A$,$B$から1枚ずつ札を取り出す. 箱$A$から取り出した札の番号を $m$, 箱$B$から取り出した札の番号を $n$ とするとき, \[ f(mn) = f(m)f(n) \] となる確率 $p_1$ と \[ 2f(mn) = f(m)f(n) \] となる確率 $p_2$ を求めよ. \hfill(配点率35%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 放物線 $C : y = -x^2 + 2x + 1$ と$x$軸の共有点を$\A(a,\,\,0),\,\,\B(b,\,\,0)$とし,$C$ と直線 $y = mx$ の共有点を% $\P(\alpha,\,\,m\alpha),\,\,\Q(\beta,\,\,m\beta)$, 原点をOとする. ただし,$a < b,\\ m \neq 0,\,\,\,\alpha < \beta$ とする. 線分OP,OAと $C$ で囲まれた図形の面積と線分OQ,OBと $C$ で囲まれた図形の面積が等しいとき,$m$ の値を求めよ. \hfill(配点率35%) \end{document}