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解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
文系 |
| 年度 |
1997年度 |
| 問No |
問1 |
| 学部 |
文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
|
| カテゴリ |
数列
|
| 状態 |
   |
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\begin{document}
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数列 $\{a_n\}$ を初項1，
公比 $r$ の等比数列とし，
数列 $\{b_n\}$ を初項1，
公比 $s$ の等比数列とする．
第$n$項が
\begin{align*}
x_n = a_n + b_n
\quad (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)
\end{align*}
で与えられる数列 $\{x_n\}$ を考える．
$x_2 = 2,\,\,\,x_4 = 14$ のとき次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$r,\,\,s$ を求めよ．ただし，$r > s$ とする．
\item
すべての自然数について，
\begin{align*}
x_{n+2} = 2x_{n+1} + x_n
\end{align*}
が成り立つことを示せ．
\hfill(配点率30％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下，
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1997年度前期文系}の全問題を挙げる．
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
数列 $\{a_n\}$ を初項1，
公比 $r$ の等比数列とし，
数列 $\{b_n\}$ を初項1，
公比 $s$ の等比数列とする．
第$n$項が
\begin{align*}
x_n = a_n + b_n
\quad (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)
\end{align*}
で与えられる数列 $\{x_n\}$ を考える．
$x_2 = 2,\,\,\,x_4 = 14$ のとき次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$r,\,\,s$ を求めよ．ただし，$r > s$ とする．
\item
すべての自然数について，
\begin{align*}
x_{n+2} = 2x_{n+1} + x_n
\end{align*}
が成り立つことを示せ．
\hfill(配点率30％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
$a$ は1より小さい正の定数とする．$xy$平面の第1象限に，
原点Oからの距離が $a$ の点Pをとる．
点Pを中心に半径1の円をえがき，
$x$軸との交点をA，C，$y$軸との交点をB，Dとする．
ただし，点Aの$x$座標，点Bの$y$座標はともに正とする．
$\angle\P\O\A=\theta$ とおくとき，
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
四角形ABCDの面積 $S$ を $a$ と $\theta$ で表せ．
\item
$\theta$ が $0^\circ < \theta < 90^\circ$ の範囲を動くとき，$S$ の最大値
および $S$ が最大となるときの $\theta$ の値を求めよ．
\hfill (配点率35％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
縦，横，高さがそれぞれ $x,\,\,x,\,\,y$ で，
これらの和 $x + x + y$ が一定値 $a$ である直方体を考える．
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
直方体の体積 $V$ が最大となるように $x,\,\,y$ の値を定めよ．
\item
$a=1$ とする．
直方体の表面積を $S$ とするとき，\smallskip
$V - \dfrac{1}{2}S$ が最小となる $x,\,\,y$ の値を求めよ．
\hfill(配点率35％)
\end{enumerate}
\end{document}
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