大阪大学 文系 1997年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 1997年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{-1mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{vector3} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 数列 $\{a_n\}$ を初項1, 公比 $r$ の等比数列とし, 数列 $\{b_n\}$ を初項1, 公比 $s$ の等比数列とする. 第$n$項が \begin{align*} x_n = a_n + b_n \quad (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots) \end{align*} で与えられる数列 $\{x_n\}$ を考える. $x_2 = 2,\,\,\,x_4 = 14$ のとき次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $r,\,\,s$ を求めよ.ただし,$r > s$ とする. \item  すべての自然数について, \begin{align*} x_{n+2} = 2x_{n+1} + x_n \end{align*} が成り立つことを示せ. \hfill(配点率30%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1997年度前期文系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 数列 $\{a_n\}$ を初項1, 公比 $r$ の等比数列とし, 数列 $\{b_n\}$ を初項1, 公比 $s$ の等比数列とする. 第$n$項が \begin{align*} x_n = a_n + b_n \quad (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots) \end{align*} で与えられる数列 $\{x_n\}$ を考える. $x_2 = 2,\,\,\,x_4 = 14$ のとき次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $r,\,\,s$ を求めよ.ただし,$r > s$ とする. \item  すべての自然数について, \begin{align*} x_{n+2} = 2x_{n+1} + x_n \end{align*} が成り立つことを示せ. \hfill(配点率30%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm $a$ は1より小さい正の定数とする.$xy$平面の第1象限に, 原点Oからの距離が $a$ の点Pをとる. 点Pを中心に半径1の円をえがき, $x$軸との交点をA,C,$y$軸との交点をB,Dとする. ただし,点Aの$x$座標,点Bの$y$座標はともに正とする. $\angle\P\O\A=\theta$ とおくとき, 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  四角形ABCDの面積 $S$ を $a$ と $\theta$ で表せ. \item  $\theta$ が $0^\circ < \theta < 90^\circ$ の範囲を動くとき,$S$ の最大値 および $S$ が最大となるときの $\theta$ の値を求めよ. \hfill (配点率35%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 縦,横,高さがそれぞれ $x,\,\,x,\,\,y$ で, これらの和 $x + x + y$ が一定値 $a$ である直方体を考える. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  直方体の体積 $V$ が最大となるように $x,\,\,y$ の値を定めよ. \item  $a=1$ とする. 直方体の表面積を $S$ とするとき,\smallskip $V - \dfrac{1}{2}S$ が最小となる $x,\,\,y$ の値を求めよ. \hfill(配点率35%) \end{enumerate} \end{document}