大阪大学 前期理系 1999年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1999年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{-1mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{vector3} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 曲線 $C : y = e^x$ と直線 $l : y = ax + b\,\,\,(a > 0,\,\,\,b > 0)$ が2点% $\P(x_1,\,\,y_1)$と$\Q(x_2,\,\,y_2)$で交わっている. ただし,$x_1 < x_2$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $x_2 - x_1 = c$ とおくとき, $y_1$ と $y_2$ を $a$ と $c$ を用いて表せ. \item  PとQの距離が1であるとする. 曲線 $C$ と$x$軸および2直線 $x = x_1,\\ x = x_2$ とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積を $V(a)$ とおくとき, \[ \lim\limits_{a \to \infty} \dfrac{V(a)}{a} \] を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries \sffamily 1999年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 曲線 $C : y = e^x$ と直線 $l : y = ax + b\,\,\,(a > 0,\,\,\,b > 0)$ が2点% $\P(x_1,\,\,y_1)$と$\Q(x_2,\,\,y_2)$で交わっている. ただし,$x_1 < x_2$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $x_2 - x_1 = c$ とおくとき, $y_1$ と $y_2$ を $a$ と $c$ を用いて表せ. \item  PとQの距離が1であるとする. 曲線 $C$ と$x$軸および2直線 $x = x_1,\\ x = x_2$ とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積を $V(a)$ とおくとき, \[ \lim\limits_{a \to \infty} \dfrac{V(a)}{a} \] を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm $xy$平面上の点$(a,\,\,b)$は, $a$ と $b$ がともに有理数のときに有理点と呼ばれる. $xy$平面において, 3つの頂点がすべて有理点である正三角形は存在しないことを示せ. ただし, 必要ならば$\sqrt{\vphantom{b}3}$が有理数であることは証明なしで使ってよい.\\ \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 平面上に, 点Oを中心とし点$\A_1,\,\,\A_2,\,\,\A_3,\,\,\A_4,\,\,\A_5,\,\,\A_6$を頂点とする正六角形がある. Oを通りその平面上にある直線 $l$ を考え, 各$\A_k$と $l$ との距離をそれぞれ $d_k$ とする. このとき \[ D = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2 + d_5^2 + d_6^2 \] は $l$ によらず一定であることを示し, その値を求めよ. ただし,$\O\A_k = r$ とする.\\ \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $xyz$空間内に2つの立体 $K$ と $L$ がある.\smallskip どのような $a$ に対しても, 平面 $z = a$ による立体 $K$ の切り口は3点\smallskip$(0,\,\,0,\,\,a),\,\, (1,\,\,0,\,\,a),\,\, \bigg(\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2},\,\,a \bigg)$を 頂点とする正三角形である.また,どのような $a$ に対しても,\smallskip 平面 $y = a$ による立体 $L$ の切り口は3点\smallskip$(0,\,\,a,\,\,0),\,\, \left(0,\,\,a,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{\vphantom{b} 3}} \right),\,\, \left(1,\,\,a,\,\,\dfrac{1}{\sqrt{\vphantom{b} 3}} \right)$を頂点とする正三角形である.\smallskip このとき,立体 $K$ と $L$ の共通部分の体積を求めよ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm \noindent% \begin{minipage}{290pt}  一辺の長さが4の正方形の紙の表(おもて)を, 図のように一辺の長さが1のマス目16個に区切る. その紙を2枚用意し, AとBの2人に渡す. AとBはそれぞれ渡された紙の2個のマス目を無作為に選んで塗りつぶす. 塗りつぶしたあと, 両方の紙を上にしてどのように重ね合わせても, 塗りつぶされたマス目がどれも重ならない確率を求めよ. ただし,2枚の紙を重ね合わせるときには, それぞれの紙を回転させてもよいが, 紙の四隅は合わせることとする. \hfill(配点率20%) \end{minipage} \begin{minipage}{90pt} \hspace*{1.5zw} %\input{osaka99s5f_zu_1b5} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 8.9100, 8.9100)( 8.0000,-12.9100) % BOX 2 0 3 0 % 2 800 400 1691 1291 % \special{pn 8}% \special{pa 800 400}% \special{pa 1692 400}% \special{pa 1692 1292}% \special{pa 800 1292}% \special{pa 800 400}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1023 1291 1023 400 % \special{pn 8}% \special{pa 1024 1292}% \special{pa 1024 400}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1245 1291 1245 400 % \special{pn 8}% \special{pa 1246 1292}% \special{pa 1246 400}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1468 1291 1468 400 % \special{pn 8}% \special{pa 1468 1292}% \special{pa 1468 400}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 800 623 1691 623 % \special{pn 8}% \special{pa 800 624}% \special{pa 1692 624}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 800 845 1691 845 % \special{pn 8}% \special{pa 800 846}% \special{pa 1692 846}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 800 1068 1691 1068 % \special{pn 8}% \special{pa 800 1068}% \special{pa 1692 1068}% \special{fp}% \end{picture}% \end{minipage} \end{document}