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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
1999年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
積分法の応用
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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曲線 $C : y = e^x$ と直線 $l : y = ax + b\,\,\,(a > 0,\,\,\,b > 0)$ が2点%
$\P(x_1,\,\,y_1)$と$\Q(x_2,\,\,y_2)$で交わっている.
ただし,$x_1 < x_2$ とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$x_2 - x_1 = c$ とおくとき,
$y_1$ と $y_2$ を $a$ と $c$ を用いて表せ.
\item
PとQの距離が1であるとする.
曲線 $C$ と$x$軸および2直線 $x = x_1,\\ x = x_2$ とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積を $V(a)$ とおくとき,
\[
\lim\limits_{a \to \infty} \dfrac{V(a)}{a}
\]
を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries \sffamily 1999年度前期理系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
曲線 $C : y = e^x$ と直線 $l : y = ax + b\,\,\,(a > 0,\,\,\,b > 0)$ が2点%
$\P(x_1,\,\,y_1)$と$\Q(x_2,\,\,y_2)$で交わっている.
ただし,$x_1 < x_2$ とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$x_2 - x_1 = c$ とおくとき,
$y_1$ と $y_2$ を $a$ と $c$ を用いて表せ.
\item
PとQの距離が1であるとする.
曲線 $C$ と$x$軸および2直線 $x = x_1,\\ x = x_2$ とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積を $V(a)$ とおくとき,
\[
\lim\limits_{a \to \infty} \dfrac{V(a)}{a}
\]
を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
$xy$平面上の点$(a,\,\,b)$は,
$a$ と $b$ がともに有理数のときに有理点と呼ばれる.
$xy$平面において,
3つの頂点がすべて有理点である正三角形は存在しないことを示せ.
ただし,
必要ならば$\sqrt{\vphantom{b}3}$が有理数であることは証明なしで使ってよい.\\
\hfill(配点率20%)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
平面上に,
点Oを中心とし点$\A_1,\,\,\A_2,\,\,\A_3,\,\,\A_4,\,\,\A_5,\,\,\A_6$を頂点とする正六角形がある.
Oを通りその平面上にある直線 $l$ を考え,
各$\A_k$と $l$ との距離をそれぞれ $d_k$ とする.
このとき
\[
D
= d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2 + d_5^2 + d_6^2
\]
は $l$ によらず一定であることを示し,
その値を求めよ.
ただし,$\O\A_k = r$ とする.\\
\hfill(配点率20%)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
$xyz$空間内に2つの立体 $K$ と $L$ がある.\smallskip
どのような $a$ に対しても,
平面 $z = a$ による立体 $K$ の切り口は3点\smallskip$(0,\,\,0,\,\,a),\,\,
(1,\,\,0,\,\,a),\,\,
\bigg(\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2},\,\,a \bigg)$を
頂点とする正三角形である.また,どのような $a$ に対しても,\smallskip
平面 $y = a$ による立体 $L$ の切り口は3点\smallskip$(0,\,\,a,\,\,0),\,\,
\left(0,\,\,a,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{\vphantom{b} 3}} \right),\,\,
\left(1,\,\,a,\,\,\dfrac{1}{\sqrt{\vphantom{b} 3}} \right)$を頂点とする正三角形である.\smallskip
このとき,立体 $K$ と $L$ の共通部分の体積を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\vskip 2zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
\noindent%
\begin{minipage}{290pt}
一辺の長さが4の正方形の紙の表(おもて)を,
図のように一辺の長さが1のマス目16個に区切る.
その紙を2枚用意し,
AとBの2人に渡す.
AとBはそれぞれ渡された紙の2個のマス目を無作為に選んで塗りつぶす.
塗りつぶしたあと,
両方の紙を上にしてどのように重ね合わせても,
塗りつぶされたマス目がどれも重ならない確率を求めよ.
ただし,2枚の紙を重ね合わせるときには,
それぞれの紙を回転させてもよいが,
紙の四隅は合わせることとする.
\hfill(配点率20%)
\end{minipage}
\begin{minipage}{90pt}
\hspace*{1.5zw}
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% BOX 2 0 3 0
% 2 800 400 1691 1291
%
\special{pn 8}%
\special{pa 800 400}%
\special{pa 1692 400}%
\special{pa 1692 1292}%
\special{pa 800 1292}%
\special{pa 800 400}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 1023 1291 1023 400
%
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\special{pn 8}%
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