解答を見る
解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
前期理系 |
| 年度 |
1999年度 |
| 問No |
問1 |
| 学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
| カテゴリ |
積分法の応用
|
| 状態 |
   |
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ascmac}
\setlength{\topmargin}{-25mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-1mm}
\setlength{\textwidth}{420pt}
\setlength{\textheight}{700pt}
\usepackage{vector3}
\usepackage{color}
\ExecuteOptions{usename}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pifont}
\begin{document}
\setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw}
\setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw}
曲線 $C : y = e^x$ と直線 $l : y = ax + b\,\,\,(a > 0,\,\,\,b > 0)$ が2点%
$\P(x_1,\,\,y_1)$と$\Q(x_2,\,\,y_2)$で交わっている．
ただし，$x_1 < x_2$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$x_2 - x_1 = c$ とおくとき，
$y_1$ と $y_2$ を $a$ と $c$ を用いて表せ．
\item
PとQの距離が1であるとする．
曲線 $C$ と$x$軸および2直線 $x = x_1,\\ x = x_2$ とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積を $V(a)$ とおくとき，
\[
\lim\limits_{a \to \infty} \dfrac{V(a)}{a}
\]
を求めよ．
\hfill(配点率20％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下，
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries \sffamily 1999年度前期理系}の全問題を挙げる．
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
曲線 $C : y = e^x$ と直線 $l : y = ax + b\,\,\,(a > 0,\,\,\,b > 0)$ が2点%
$\P(x_1,\,\,y_1)$と$\Q(x_2,\,\,y_2)$で交わっている．
ただし，$x_1 < x_2$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$x_2 - x_1 = c$ とおくとき，
$y_1$ と $y_2$ を $a$ と $c$ を用いて表せ．
\item
PとQの距離が1であるとする．
曲線 $C$ と$x$軸および2直線 $x = x_1,\\ x = x_2$ とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積を $V(a)$ とおくとき，
\[
\lim\limits_{a \to \infty} \dfrac{V(a)}{a}
\]
を求めよ．
\hfill(配点率20％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
$xy$平面上の点$(a,\,\,b)$は，
$a$ と $b$ がともに有理数のときに有理点と呼ばれる．
$xy$平面において，
3つの頂点がすべて有理点である正三角形は存在しないことを示せ．
ただし，
必要ならば$\sqrt{\vphantom{b}3}$が有理数であることは証明なしで使ってよい．\\
\hfill(配点率20％)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
平面上に，
点Oを中心とし点$\A_1,\,\,\A_2,\,\,\A_3,\,\,\A_4,\,\,\A_5,\,\,\A_6$を頂点とする正六角形がある．
Oを通りその平面上にある直線 $l$ を考え，
各$\A_k$と $l$ との距離をそれぞれ $d_k$ とする．
このとき
\[
D
= d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2 + d_5^2 + d_6^2
\]
は $l$ によらず一定であることを示し，
その値を求めよ．
ただし，$\O\A_k = r$ とする．\\
\hfill(配点率20％)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
$xyz$空間内に2つの立体 $K$ と $L$ がある．\smallskip
どのような $a$ に対しても，
平面 $z = a$ による立体 $K$ の切り口は3点\smallskip$(0,\,\,0,\,\,a),\,\,
(1,\,\,0,\,\,a),\,\,
\bigg(\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2},\,\,a \bigg)$を
頂点とする正三角形である．また，どのような $a$ に対しても，\smallskip
平面 $y = a$ による立体 $L$ の切り口は3点\smallskip$(0,\,\,a,\,\,0),\,\,
\left(0,\,\,a,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{\vphantom{b} 3}} \right),\,\,
\left(1,\,\,a,\,\,\dfrac{1}{\sqrt{\vphantom{b} 3}} \right)$を頂点とする正三角形である．\smallskip
このとき，立体 $K$ と $L$ の共通部分の体積を求めよ．
\hfill(配点率20％)
\vskip 2zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
\noindent%
\begin{minipage}{290pt}
一辺の長さが4の正方形の紙の表(おもて)を，
図のように一辺の長さが1のマス目16個に区切る．
その紙を2枚用意し，
AとBの2人に渡す．
AとBはそれぞれ渡された紙の2個のマス目を無作為に選んで塗りつぶす．
塗りつぶしたあと，
両方の紙を上にしてどのように重ね合わせても，
塗りつぶされたマス目がどれも重ならない確率を求めよ．
ただし，2枚の紙を重ね合わせるときには，
それぞれの紙を回転させてもよいが，
紙の四隅は合わせることとする．
\hfill(配点率20％)
\end{minipage}
\begin{minipage}{90pt}
\hspace*{1.5zw}
%\input{osaka99s5f_zu_1b5}
%WinTpicVersion3.08
\unitlength 0.1in
\begin{picture}( 8.9100, 8.9100)( 8.0000,-12.9100)
% BOX 2 0 3 0
% 2 800 400 1691 1291
%
\special{pn 8}%
\special{pa 800 400}%
\special{pa 1692 400}%
\special{pa 1692 1292}%
\special{pa 800 1292}%
\special{pa 800 400}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 1023 1291 1023 400
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1024 1292}%
\special{pa 1024 400}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 1245 1291 1245 400
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1246 1292}%
\special{pa 1246 400}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 1468 1291 1468 400
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1468 1292}%
\special{pa 1468 400}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 800 623 1691 623
%
\special{pn 8}%
\special{pa 800 624}%
\special{pa 1692 624}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 800 845 1691 845
%
\special{pn 8}%
\special{pa 800 846}%
\special{pa 1692 846}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 800 1068 1691 1068
%
\special{pn 8}%
\special{pa 800 1068}%
\special{pa 1692 1068}%
\special{fp}%
\end{picture}%
\end{minipage}
\end{document}
ヘルプ
