大阪大学 文系 2002年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 2002年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ 方程式と不等式 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} %\MARU{\resizebox{0.64zw}{0.62zw}{10}} %\MARU{\resizebox{0.6zw}{0.62zw}{12}} %\MARU{\resizebox{0.6zw}{0.62zw}{14}} %\MARU{\resizebox{0.6zw}{0.62zw}{17}} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  実数の定数 $p$ に対して, 3次方程式 $x^3 + x - p = 0$ の実数解の個数は1個であることを示せ. \item  $p,\,\,q$ は定数で $p \geqq 2,\,\,\,q \geqq 2$ とする. 2つの3次方程式 \begin{align*} x^3 + x - p = 0,\quad x^3 + x - q = 0 \end{align*} の実数解をそれぞれ % $\alpha,\,\,\beta$ とするとき, \begin{align*} \zettaiti{\alpha - \beta} \leqq \dfrac{1}{4}\zettaiti{p - q} \end{align*} が成立することを示せ. \hfill(配点率30%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2002年度前期文系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  実数の定数 $p$ に対して, 3次方程式 $x^3 + x - p = 0$ の実数解の個数は1個であることを示せ. \item  $p,\,\,q$ は定数で $p \geqq 2,\,\,\,q \geqq 2$ とする. 2つの3次方程式 \begin{align*} & x^3 + x - p = 0,\quad x^3 + x - q = 0 \intertext{の実数解をそれぞれ % $\alpha,\,\,\beta$ とするとき,} & \zettaiti{\alpha - \beta} \leqq \dfrac{1}{4}\zettaiti{p - q} \end{align*} が成立することを示せ. \hfill(配点率30%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 平面上に3つの放物線 \[ C_1 : y = -x(x-1),\quad C_2 : y = x(x-1),\quad C : y = \dfrac{1}{2}x^2 + ax + b \] を考える. いま実数 $t$ に対して,$C$ は $C_1$ 上の点$(t,\,\,-t^2+t)$を通り, その点で $C_1$ と共通の接線をもつとする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a,\,\,b$ を $t$ を用いて表せ. \item  2つの放物線 $C,\,\,C_2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を $t$ を用いて表せ. \item  $t$ を動かすとき,$S$ の最小値を求めよ. \hfill (配点率 35%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 平面上に原点Oを中心とする半径1の円 $K_1$ を考える. $K_1$ の直径を1つとり, その両端をA,Bとする. 円 $K_1$ の周上の任意の点Qに対し, 線分QAを$1 : 2$の比に内分する点をRとする. いま $k$ を正の定数として, \[ \vecp = \AQ + k\BR \] とおく. ただし,$\Q = \A$ のときは $\R = \A$ とする. また,$\OA = \veca,\,\,\,\OQ = \vecq$ とおく. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\BR$ を $\veca,\,\,\vecq$ を用いて表せ. \item  点Qが円 $K_1$ 上の周上を動くとき, $\OP = \vecp$ となるような点Pがえがく図形を $K_2$ とする. $K_2$ は円であることを示し, 中心の位置ベクトルと半径を求めよ. \item  円 $K_2$ の内部に点Aが含まれるような $k$ の値の範囲を求めよ.\\ \hfill(配点率35%) \end{enumerate} \end{document}