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解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
前期理系 |
| 年度 |
2001年度 |
| 問No |
問5 |
| 学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
| カテゴリ |
数列
|
| 状態 |
   |
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\begin{document}
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数列 $\{a_n\}$ において，\smallskip
各項 $a_n$ が $a_n \geqq 0$ をみたし，
かつ $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_n = \dfrac{1}{2}$ が成り立つとする．
さらに各$n$に対し
\begin{gather*}
b_n = (1-a_1)(1-a_2) \cdots (1-a_n) \\
c_n = 1 - (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)
\end{gather*}
とおく．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
すべての $n$ に対し不等式 $b_n \geqq c_n$ が成り立つことを，
数学的帰納法で示せ．
\item
ある $n$ について $b_{n+1} = c_{n+1}$ が成り立てば，
$b_n = c_n$ となることを示せ．
\item
$b_3 = \dfrac{1}{2}$ となるとき，\smallskip
$c_3 = \dfrac{1}{2}$ であることを示せ．
また $b_3 = \dfrac{1}{2}$ となる数列 $\{a_n\}$ は全部で何種類あるかを求めよ．
\hfill(配点率20％)
\end{enumerate}
\end{document}
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