大阪大学 後期理系 2001年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 2001年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 数列 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 座標平面上の点で,$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という. \vskip 1.5mm \noindent\begin{minipage}{240pt}  点Pは,原点から出発し, 直線 $y = x$ に沿って$x$座標が増加する向きに動き始める. 点Pが格子点に達すると, 動く方向を変えることも変えないこともあるが, 常にその格子点を通る傾き1または$-1$の直線に沿って$x$座標が増加する向きに進む. ただし,Pの$y$座標は常に $0 \leqq y \leqq 3$ の範囲にあるとする. \end{minipage} \begin{minipage}{180pt} \hspace*{0.6zw} %\input{osaka01s1s_zu_1} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 22.7600, 13.1000)( 8.2000,-17.8000) % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1000 1780 1000 528 % \special{pn 8}% \special{pa 1000 1780}% \special{pa 1000 528}% \special{fp}% \special{sh 1}% 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\put(19.8000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 4}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2240 1666 2240 1730 2 0 % {\footnotesize 5} \put(22.4000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 5}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2490 1666 2490 1730 2 0 % {\footnotesize 6} \put(24.9000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 6}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2750 1666 2750 1730 2 0 % {\footnotesize 7} \put(27.5000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 7}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 900 1326 900 1390 2 0 % {\footnotesize 1} \put(9.0000,-13.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 1}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 900 1076 900 1140 2 0 % {\footnotesize 2} \put(9.0000,-11.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 2}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 900 816 900 880 2 0 % {\footnotesize 3} \put(9.0000,-8.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 3}}}% \end{picture}% \end{minipage} \vskip 1.5mm $n$ を自然数とする. 上の条件にしたがってPが原点から点$(2n,\,\,0)$に到達するときPがたどりうる 経路の総数を $a_n$ とおく. 同様に,点$(2n,\,\,2)$に到達するときPがたどりうる経路の総数を $b_n$ とおく. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a_{n+1}$ および $b_{n+1}$ を $a_n$ と $b_n$ を用いて表せ. \item  $a_n + tb_n\,\,\,(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が等比数列となるような 数 $t$ を2個求めよ. \item  数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求めよ. \item  $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n}$ の値を求めよ. \hfill(工・基礎工 配点率30%,理学部 50点) \end{enumerate} \end{document}