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解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
後期理系 |
| 年度 |
2001年度 |
| 問No |
問1 |
| 学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
| カテゴリ |
数列 ・ 関数と極限
|
| 状態 |
   |
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\begin{document}
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座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．
\vskip 1.5mm
\noindent\begin{minipage}{240pt}
点Pは，原点から出発し，
直線 $y = x$ に沿って$x$座標が増加する向きに動き始める．
点Pが格子点に達すると，
動く方向を変えることも変えないこともあるが，
常にその格子点を通る傾き1または$-1$の直線に沿って$x$座標が増加する向きに進む．
ただし，Pの$y$座標は常に $0 \leqq y \leqq 3$ の範囲にあるとする．
\end{minipage}
\begin{minipage}{180pt}
\hspace*{0.6zw}
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%WinTpicVersion3.08
\unitlength 0.1in
\begin{picture}( 22.7600, 13.1000)( 8.2000,-17.8000)
% VECTOR 2 0 3 0
% 2 1000 1780 1000 528
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1000 1780}%
\special{pa 1000 528}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 1000 528}%
\special{pa 980 596}%
\special{pa 1000 582}%
\special{pa 1020 596}%
\special{pa 1000 528}%
\special{fp}%
% VECTOR 2 0 3 0
% 2 820 1600 3096 1600
%
\special{pn 8}%
\special{pa 820 1600}%
\special{pa 3096 1600}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 3096 1600}%
\special{pa 3030 1580}%
\special{pa 3044 1600}%
\special{pa 3030 1620}%
\special{pa 3096 1600}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 998 1347 3046 1347
%
\special{pn 8}%
\special{pa 998 1348}%
\special{pa 3046 1348}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 998 1091 3046 1091
%
\special{pn 8}%
\special{pa 998 1092}%
\special{pa 3046 1092}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 998 835 3046 835
%
\special{pn 8}%
\special{pa 998 836}%
\special{pa 3046 836}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 1254 1603 1254 835
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1254 1604}%
\special{pa 1254 836}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 1510 1603 1510 835
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1510 1604}%
\special{pa 1510 836}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 1766 1603 1766 835
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1766 1604}%
\special{pa 1766 836}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 2022 1603 2022 835
%
\special{pn 8}%
\special{pa 2022 1604}%
\special{pa 2022 836}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 2278 1603 2278 835
%
\special{pn 8}%
\special{pa 2278 1604}%
\special{pa 2278 836}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 2534 1603 2534 835
%
\special{pn 8}%
\special{pa 2534 1604}%
\special{pa 2534 836}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 2790 1603 2790 835
%
\special{pn 8}%
\special{pa 2790 1604}%
\special{pa 2790 836}%
\special{fp}%
% POLYLINE 1 0 3 0
% 10 998 1603 1254 1347 1254 1347 1510 1603 1510 1603 2022 1091 2278 1347 2790 835 2790 835 2790 835
%
\special{pn 13}%
\special{pa 998 1604}%
\special{pa 1254 1348}%
\special{pa 1254 1348}%
\special{pa 1510 1604}%
\special{pa 1510 1604}%
\special{pa 2022 1092}%
\special{pa 2278 1348}%
\special{pa 2790 836}%
\special{pa 2790 836}%
\special{pa 2790 836}%
\special{fp}%
% VECTOR 1 0 3 0
% 2 2790 835 2969 1014
%
\special{pn 13}%
\special{pa 2790 836}%
\special{pa 2970 1014}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 2970 1014}%
\special{pa 2936 954}%
\special{pa 2932 976}%
\special{pa 2908 982}%
\special{pa 2970 1014}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 870 576 870 640 2 0
% $y$
\put(8.7000,-6.4000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2960 1656 2960 1720 2 0
% $x$
\put(29.6000,-17.2000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 870 1666 870 1730 2 0
% {\footnotesize O}
\put(8.7000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1210 1666 1210 1730 2 0
% {\footnotesize 1}
\put(12.1000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 1}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1460 1666 1460 1730 2 0
% {\footnotesize 2}
\put(14.6000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 2}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1730 1666 1730 1730 2 0
% {\footnotesize 3}
\put(17.3000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 3}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1980 1666 1980 1730 2 0
% {\footnotesize 4}
\put(19.8000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 4}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2240 1666 2240 1730 2 0
% {\footnotesize 5}
\put(22.4000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 5}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2490 1666 2490 1730 2 0
% {\footnotesize 6}
\put(24.9000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 6}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2750 1666 2750 1730 2 0
% {\footnotesize 7}
\put(27.5000,-17.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 7}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 900 1326 900 1390 2 0
% {\footnotesize 1}
\put(9.0000,-13.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 1}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 900 1076 900 1140 2 0
% {\footnotesize 2}
\put(9.0000,-11.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 2}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 900 816 900 880 2 0
% {\footnotesize 3}
\put(9.0000,-8.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 3}}}%
\end{picture}%
\end{minipage}
\vskip 1.5mm
$n$ を自然数とする．
上の条件にしたがってPが原点から点$(2n,\,\,0)$に到達するときPがたどりうる
経路の総数を $a_n$ とおく．
同様に，点$(2n,\,\,2)$に到達するときPがたどりうる経路の総数を $b_n$ とおく．
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a_{n+1}$ および $b_{n+1}$ を $a_n$ と $b_n$ を用いて表せ．
\item
$a_n + tb_n\,\,\,(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が等比数列となるような
数 $t$ を2個求めよ．
\item
数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求めよ．
\item
$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n}$ の値を求めよ．
\hfill(工・基礎工 配点率30％，理学部 50点)
\end{enumerate}
\end{document}
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