神戸大学 前期理系 2005年度 問2

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 神戸大学
学科・方式 前期理系
年度 2005年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 工学部 ・ 農学部 ・ 海事科学部
カテゴリ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \quad $a$を正の実数とする.$xy$平面の放物線$C:y=x^2$上に点A$(-a,\ a^2)$をとる. $s>0$のとき,$x$軸上の点P$(s,\ 0)$に対して,直線APと$C$の2つの交点のう ち,Aとは異なる交点をQ$(t,\ t^2)$とする.Qから$x$軸に下ろした垂線と$x$ 軸との交点を$\hen{P}'(t,\ 0)$とする.いま,$x$軸上の点 $\hen{P}_1(c,\ 0)$ ($c>0$)から出発して,点Pに対して点Q,\hen{P'}を定めた のと同じ方法で\hen{P_1}から点\hen{Q_1},\hen{P_2}を定め,同様に \hen{P_2}から点\hen{Q_2},\hen{P_3}を定め,この方法を繰り返して, \hen{P_1},\hen{P_2},\hen{P_3},$\cdots$と\hen{Q_1},\hen{Q_2}, \hen{Q_3},$\cdots$を定める. 次の問に答えよ.%(配点30点) \begin{toi} \item $t$を$a$と$s$を用いて表せ. \item 点$\hen{P}_n$ ($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)の$x$座標を$x_n$とする.数 列$\{u_n\}$を$u_n=\Frac{1}{x_n}$で定める.$\{u_n\}$の一般項を求めよ. \item 直角三角形$\hen{P}_n\hen{Q}_n\hen{P}_{n+1}$の面積を$S_n$で表す. 自然数$r$を選んで,極限$\dlim_{n\to\infty}n^rS_n$が正の実数値に収束する ようにできる.このような$r$の値とそのときの極限値 $\dlim_{n\to\infty}n^rS_n$を求めよ. \end{toi} \end{document}