信州大学 前期<理系> 1999年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 信州大学
学科・方式 前期<理系>
年度 1999年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 農学部 ・ 工学部
カテゴリ 方程式と不等式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a_i,\ b_i\,\,\,(i = 1,\ 2,\ 3)$ を実数とするとき, 次の不等式を証明せよ. \begin{align*} ({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2)({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) \geqq (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2 \end{align*} \item  実数 $x_i,\ y_i,\ z_i\,\,\,(i = 1,\ 2)$ が \begin{align*} {x_1}^2 + {y_1}^2 - {z_1}^2 + 1 = 0,\quad {x_2}^2 + {y_2}^2 - {z_2}^2 + 1 = 0,\quad z_1z_2 > 0 \end{align*} を満たしているとする.このとき不等式 \begin{align*} x_1x_2 + y_1y_2 - z_1z_2 + 1 \leqq 0 \end{align*} が成り立つことを証明せよ. また,等号が成立するのは \begin{align*} x_1 = x_2,\quad y_1 = y_2,\quad z_1 = z_2 \end{align*} のときに限ることを示せ. \end{enumerate} \end{document}