九州大学 前期理系 2002年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 九州大学
学科・方式 前期理系
年度 2002年度
問No 問5
学部 理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 芸術工 ・ 農
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 正の実数 $a$ の3乗根 $\sqrt[3]{\vphantom{b} a}$ を 近似することを考える. 与えられた2以上の整数 $p$ に対して関数 $f(x),\ g(x)$ を \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} f(x) = x^p - ax^{p-3} \medskip \\ g(x) = x - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \end{array} \right. \end{align*} とする. ここで $f'(x)$ は $f(x)$ の導関数である. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $g(x) - \sqrt[3]{\vphantom{b} a}$ は \begin{align*} g(x) - \sqrt[3]{\vphantom{b} a} = (x - \sqrt[3]{\vphantom{b} a}\,)^2 \times \frac{xの2次式}{xの3次式} \end{align*} の形で表されることを示せ. \item  $p = 2$ とする. このとき $g(x) - \sqrt[3]{\vphantom{b} a}$ は \begin{align*} g(x) - \sqrt[3]{\vphantom{b} a} = (x - \sqrt[3]{\vphantom{b} a}\,)^3 \times \frac{xの1次式}{xの3次式} \end{align*} の形で表されることを示せ. \item  $a=9,\,\,\,p=2$ とする. $2 < \sqrt[3]{\vphantom{b} 9} < 2.1$ に注意して, 不等式 \begin{align*} 0 < \sqrt[3]{\vphantom{b} 9} - g(2) < \frac{1}{1000} \end{align*} が成り立つことを示せ. また,$\sqrt[3]{\vphantom{b} 9}$ を小数第3位まで求めよ(すなわち, 小数第4位以下を切り捨てよ). \end{enumerate} \end{document}