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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
関西学院大学 |
学科・方式 |
理工・教(理) |
年度 |
1997年度 |
問No |
問2 |
学部 |
理工学部 ・ 教育学部
|
カテゴリ |
数列
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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平面上に直線 $l$ と $l$ に接する半径1の円 $O_1$ がある.
$l$ に関して $O_1$ と同じ側で,
$l$ に接しかつ $O_1$ と外接する半径 $a$ の円を $O_2$ とする.
$O_1,\ O_2$ および $l$ によって囲まれた領域で,
$O_1,\ O_2$ および $l$ に接する円を $O_3$ とする.
以下同様に $n \geqq 4$ を満たす自然数 $n$ に対して,
$O_{n-2},\ O_{n-1}$ および $l$ によって囲まれた領域で,
$O_{n-2},\ O_{n-1}$ および $l$ に接する円を $O_n$ とする.
このとき,
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\item[(1)]
円 $O_3$ の半径 $r_3$ を $a$ で表せ.
\item[(2)]
$r_1 = 1,\enskip r_2 = a$,
および円 $O_n$ の半径を $r_n \enskip(n \geqq 3)$ とするとき,
$r_1,\ r_2,\ r_3,\ \cdots,\\
r_n,\ \cdots$ が等比数列になるためには,
$a$ がどのような値でなければならないか.
\item[(3)]
$a$ が(2)で求めた値をとるとき,
円 $O_n$ の中心から直線 $l$ に下ろした垂線の足を$\H_n$とすると
\begin{align*}
\overline{\mathstrut \H_1\H_2}
+ \overline{\mathstrut \H_2\H_3}
+ \cdots
+ \overline{\mathstrut \H_n\H_{n+1}}
< 2
\end{align*}
であることを示せ.
% ただし,線分$\H_1\H_2$の長さを$\overline{\mathstrut \H_1\H_2}$の
%ように表す.
\end{enumerate}
\end{document}