九州大学 前期理系 2002年度 問2

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 九州大学
学科・方式 前期理系
年度 2002年度
問No 問2
学部 理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 芸術工 ・ 農
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 正の整数 $a$ に対し, $a$ の正の約数全体の和を $f(a)$ で表す. ただし, 1および $a$ 自身も約数とする. たとえば $f(1) = 1$ であり, $a = 15$ ならば15の約数全体は$1,\ 3,\ 5,\ 15$なので, $f(15) = 24$ となる. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a$ が正の奇数 $b$ と正の整数 $m$ を用いて $a = 2^mb$ と 表されるとする. このとき \[ f(a) = (2^{m+1} - 1)f(b) \] が成り立つことを示せ. \item  $a$ が2以上の整数 $p$ と正の約数 $q$ を用いて $a = pq$ と 表されるとする. このとき \[ f(a) \geqq (p + 1)q \] が成り立つことを示せ. また,等号が成り立つのは, $q = 1$ かつ $p$ が素数であるときに限ることを示せ. \item  正の偶数 $a,\ b$ は, ある整数 $m,\ n$ とある奇数 $r,\ s$ を 用いて $a = 2^mr,\\ b = 2^ns$ のように表すことができる. このとき $a,\ b$ が \[ \left\{ \begin{array}{l} f(a) = 2b \smallskip \\ f(b) = 2a \end{array} \right. \] をみたせば, $r,\ s$ は素数であり, かつ $r = 2^{m+1} - 1,\enskip s = 2^{n+1} - 1$ となることを示せ. \end{enumerate} \end{document}