解答を見る
解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
九州大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
2002年度 |
問No |
問2 |
学部 |
理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 芸術工 ・ 農
|
カテゴリ |
|
状態 |
 |
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ascmac}
\usepackage{vector3}
\setlength{\topmargin}{-25mm}
\setlength{\oddsidemargin}{2.5mm}
\setlength{\textwidth}{420pt}
\setlength{\textheight}{700pt}
\usepackage{color}
\ExecuteOptions{usename}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{custom_mori}
\begin{document}
\setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw}
\setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw}
正の整数 $a$ に対し,
$a$ の正の約数全体の和を $f(a)$ で表す.
ただし,
1および $a$ 自身も約数とする.
たとえば $f(1) = 1$ であり,
$a = 15$ ならば15の約数全体は$1,\ 3,\ 5,\ 15$なので,
$f(15) = 24$ となる.
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a$ が正の奇数 $b$ と正の整数 $m$ を用いて $a = 2^mb$ と
表されるとする.
このとき
\[
f(a) = (2^{m+1} - 1)f(b)
\]
が成り立つことを示せ.
\item
$a$ が2以上の整数 $p$ と正の約数 $q$ を用いて $a = pq$ と
表されるとする.
このとき
\[
f(a) \geqq (p + 1)q
\]
が成り立つことを示せ.
また,等号が成り立つのは,
$q = 1$ かつ $p$ が素数であるときに限ることを示せ.
\item
正の偶数 $a,\ b$ は,
ある整数 $m,\ n$ とある奇数 $r,\ s$ を
用いて $a = 2^mr,\\ b = 2^ns$ のように表すことができる.
このとき $a,\ b$ が
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(a) = 2b \smallskip \\
f(b) = 2a
\end{array}
\right.
\]
をみたせば,
$r,\ s$ は素数であり,
かつ $r = 2^{m+1} - 1,\enskip
s = 2^{n+1} - 1$ となることを示せ.
\end{enumerate}
\end{document}