大阪大学 後期理系 2015年度 問2

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 2015年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\Op{{\mathrm{O}}} \def\LLL{{\lll}} \def\RRR{{\rrr}} \def\LL{{\ll}} \def\RR{{\rr}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 数列 $\{a_n\}$ を \smallskip% $a_n = \dfrac{n!}{\sqrt{\vphantom{b} n}\,n^n e^{-n}}$ で定める. このとき $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \sqrt{\vphantom{b} 2\pi}$ であることを, 以下の手順で示せ. \begin{enumerate} \item[(1)]  数列 $\{b_n\}$ を % $b_n = \dfrac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt{\vphantom{b} n}\,(2n)!}$ で 定める. $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ のとき \[ \sin^{2n+1}x < \sin^{2n}x < \sin^{2n-1}x \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] であることを用いて, $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \sqrt{\vphantom{b} \pi}$ で あることを示せ. %\medskip \item[(2)]  すべての自然数 $n$ に対して \begin{align*} 0 < \log\frac{a_n}{a_{n+1}} < \frac{100}{n(n+1)} \end{align*} が成り立つことを示せ. %\medskip \item[(3)]  $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{a_{2n}} = 1$ で あることを示せ. %\medskip \item[(4)]  $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \sqrt{\vphantom{b} 2\pi}$ で あることを示せ. \end{enumerate} \end{document}