大阪大学 前期理系 2015年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2015年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 積分法 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\Op{{\mathrm{O}}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 自然数 $n$ に対して関数 $f_n(x)$ を \begin{align*} f_n(x) = \frac{x}{n(1 + x)}\log\bigg(1 + \frac{x}{n}\bigg) \quad(x \geqq 0) \end{align*} で定める. 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \item[(1)]  $\displaystyle\int_0^n f_n(x)\,dx \leqq \int_0^1 \log(1 + x)\,dx$ を示せ. %\medskip \item[(2)]  数列 $\{I_n\}$ を \[ I_n = \int_0^n f_n(x)\,dx \] で定める.\smallskip $0 \leqq x \leqq 1$ のとき $\log(1 + x) \leqq \log 2$ で あることを用いて数列 $\{I_n\}$ が収束することを示し,\smallskip その極限値を求めよ. ただし, $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\log x}{x} = 0$ で あることは用いてよい. \end{enumerate} \end{document}