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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
2015年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
積分法 ・ 関数と極限
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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自然数 $n$ に対して関数 $f_n(x)$ を
\begin{align*}
f_n(x)
= \frac{x}{n(1 + x)}\log\bigg(1 + \frac{x}{n}\bigg)
\quad(x \geqq 0)
\end{align*}
で定める.
以下の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\displaystyle\int_0^n f_n(x)\,dx
\leqq \int_0^1 \log(1 + x)\,dx$ を示せ.
%\medskip
\item[(2)]
数列 $\{I_n\}$ を
\[
I_n
= \int_0^n f_n(x)\,dx
\]
で定める.\smallskip
$0 \leqq x \leqq 1$ のとき $\log(1 + x) \leqq \log 2$ で
あることを用いて数列 $\{I_n\}$ が収束することを示し,\smallskip
その極限値を求めよ.
ただし,
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\log x}{x} = 0$ で
あることは用いてよい.
\end{enumerate}
\end{document}