琉球大学 前期理系 2014年度 問3

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解答作成者: 北川 拓司

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入試情報

大学名 琉球大学
学科・方式 前期理系
年度 2014年度
問No 問3
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} 整数$m,n$は$m\geq 1,n\geq 2$をみたすとする.次の問いに答えよ.\\ (1)\quad $x>0$のとき,$y=\log x$の第一次導関数$y^{\prime}$と第2導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ.答を記すのみでよい.\\ (2)\quad 座標平面上の3点$\mathrm{A}(m,\log m),\mathrm{B}(m+1,\log m),\mathrm{C}(m+1,\log(m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_{m}$とする.$S_{m}$を$m$を用いて表せ.答を記すのみでよい.\\ (3)\quad $f(m)=\log m+S_{m}-\int_{m}^{m+1}\log x\;dx$とおく.$f(m)<0$が成り立つことを,$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ.\\ (4)\quad $f(1)+f(2)+\cdots+f(n-1)<0$であることを用いて,不等式 \begin{equation*} \log 1+\log 2+\cdots+\log (n-1)<n\log n-n+1-\dfrac{1}{2}\log n \end{equation*} を証明せよ.\\ (5)不等式$n!<e\sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}$を証明せよ.ただし,$e$は自然対数の底である. \end{document}