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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
2011年度 |
問No |
問3 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
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カテゴリ |
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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実数の組$(p,\ q)$に対し,
$f(x) = (x - p)^2 + q$ とおく.
\begin{enumerate}
\item[(1)]
放物線 $y = f(x)$ が点$(0,\ 1)$を通り,
しかも直線 $y = x$ の $x > 0$ の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と
接点の座標を求めよ.
%\medskip
\item[(2)]
実数の組$(p_1,\ q_1),\enskip(p_2,\ q_2)$に対して,
$f_1(x) = (x - p_1)^2 + q_1$ および \\
$f_2(x) = (x - p_2)^2 + q_2$ とおく.
実数 $\alpha,\ \beta\enskip(ただし\>\alpha < \beta)$ に対して
\[
f_1(\alpha) < f_2(\alpha),\quad
f_1(\beta) < f_2(\beta)
\]
であるならば,
区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において不等式 $f_1(x) < f_2(x)$ が
つねに成り立つことを示せ.
%\medskip
\item[(3)]
長方形 $R : 0 \leqq x \leqq 1,\enskip
0 \leqq y \leqq 2$ を考える.
また,4点$\P_0(0,\ 1),\enskip\P_1(0,\ 0),\\
\P_2(1,\ 1),\enskip \P_3(1,\ 0)$を
この順に線分で結んで得られる折れ線を $L$ とする.
実数の組$(p,\ q)$を,
放物線 $y = f(x)$ と折れ線 $L$ に共有点がないようなすべての組にわたって
動かすとき,
$R$ の点のうちで放物線 $y = f(x)$ が通過する点全体の集合を $T$ とする.
$R$ から $T$ を除いた領域 $S$ を座標平面上に図示し,
その面積を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\end{document}