大阪大学 前期理系 2015年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2015年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 順列と組み合わせ
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{fancybox} \usepackage{vector3} \usepackage{custom_mori} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} %%%%%%%beginproblem%%%%%%% $n$ を2以上の整数とする. 正方形の形に並んだ$n \times n$のマスに0または1のいずれかの 数字を入れる. マスは上から第1行,第2行,$\ldots\,$,左から 第1列,第2列,$\ldots\,$,と数える. 数字の入れ方についての次の条件 $p$ を考える. \medskip \noindent 条件 $p$:1から $n-1$ までのどの整数 $i,\ j$ についても, 第$i$行,第$i+1$行と第$j$列,第$j+1$列とが作る$2 \times 2$の4個の マスには0と1が2つずつ入る. \vspace*{1zw} \begin{center} %\resizebox{!}{8zw}{ %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 19.5800, 16.4200)( 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\put(28.0000,-23.5000){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{!}{0.8zw}{1}}}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2958 1590 3278 1430 % \special{pn 8}% \special{pa 2958 1590}% \special{pa 3278 1430}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 3278 1430}% \special{pa 3210 1442}% \special{pa 3230 1454}% \special{pa 3228 1478}% \special{pa 3278 1430}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2622 2190 3278 1974 % \special{pn 8}% \special{pa 2622 2190}% \special{pa 3278 1974}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 3278 1974}% \special{pa 3208 1976}% \special{pa 3228 1992}% \special{pa 3222 2014}% \special{pa 3278 1974}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 3318 1382 3318 1462 2 0 % \resizebox{!}{0.6zw}{第2行} \put(33.1800,-14.6200){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{!}{0.6zw}{第2行}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3318 1926 3318 2006 2 0 % \resizebox{!}{0.6zw}{第3列} \put(33.1800,-20.0600){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{!}{0.6zw}{第3列}}}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2086 2334 2142 2598 % \special{pn 8}% \special{pa 2086 2334}% \special{pa 2142 2598}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2142 2598}% \special{pa 2148 2530}% \special{pa 2132 2546}% \special{pa 2110 2538}% \special{pa 2142 2598}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 2062 2670 2062 2750 2 0 % \resizebox{!}{0.6zw}{$2 \times 2$の4個のマス} \put(20.6200,-27.5000){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{!}{0.6zw}{$2 \times 2$の4個のマス}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1360 1290 1360 1370 2 0 % \resizebox{!}{0.5zw}{第1行} \put(13.6000,-13.7000){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{!}{0.5zw}{第1行}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1360 1610 1360 1690 2 0 % \resizebox{!}{0.5zw}{第2行} \put(13.6000,-16.9000){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{!}{0.5zw}{第2行}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1360 1930 1360 2010 2 0 % \resizebox{!}{0.5zw}{第3行} \put(13.6000,-20.1000){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{!}{0.5zw}{第3行}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1360 2250 1360 2330 2 0 % \resizebox{!}{0.5zw}{第4行} \put(13.6000,-23.3000){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{!}{0.5zw}{第4行}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1846 1046 1846 1126 2 0 % \resizebox{0.6zw}{!}{$\begin{matrix}第 \\[-1.1mm] 1 \\[-1.1mm] 列 \end{matrix}$} \put(18.4600,-11.2600){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{0.6zw}{!}{$\begin{matrix}第 \\[-1.1mm] 1 \\[-1.1mm] 列 \end{matrix}$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2166 1046 2166 1126 2 0 % \resizebox{0.6zw}{!}{$\begin{matrix}第 \\[-1.1mm] 2 \\[-1.1mm] 列 \end{matrix}$} \put(21.6600,-11.2600){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{0.6zw}{!}{$\begin{matrix}第 \\[-1.1mm] 2 \\[-1.1mm] 列 \end{matrix}$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2486 1046 2486 1126 2 0 % \resizebox{0.6zw}{!}{$\begin{matrix}第 \\[-1.1mm] 3 \\[-1.1mm] 列 \end{matrix}$} \put(24.8600,-11.2600){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{0.6zw}{!}{$\begin{matrix}第 \\[-1.1mm] 3 \\[-1.1mm] 列 \end{matrix}$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2806 1046 2806 1126 2 0 % \resizebox{0.6zw}{!}{$\begin{matrix}第 \\[-1.1mm] 4 \\[-1.1mm] 列 \end{matrix}$} \put(28.0600,-11.2600){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{0.6zw}{!}{$\begin{matrix}第 \\[-1.1mm] 4 \\[-1.1mm] 列 \end{matrix}$}}}% \end{picture}% %} \vskip 1zw ($n = 4$ の場合の入れ方の例) \end{center} \begin{enumerate} \item[(1)]  条件 $p$ を満たすとき, 第$n$行と第$n$列の少なくとも一方には0と1が 交互に現れることを示せ. %\medskip \item[(2)]  条件 $p$ を満たすような数字の入れ方の総数 $a_n$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} %%%%%%%endproblem%%%%%%% \end{document}