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解答作成者: GM
入試情報
大学名 |
立命館大学 |
学科・方式 |
理系A |
年度 |
2005年度 |
問No |
問4 |
学部 |
理工学部
|
カテゴリ |
確率
|
状態 |
 |
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\oddsidemargin 0cm \evensidemargin 0cm
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\begin{document}
等式
\[
(a+b)^N=\displaystyle\sum^{N}_{k=0} {}_N\mathrm{C}_k a^k b^{N-k} \: , \:\:\:\:\: {}_N\mathrm{C}_k=\cfrac{N!}{k!(N-k)!}
\]
\bigskip
を二項定理という。これを利用して以下の設問に答えよ。
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表の出やすい銅貨を $N$ 回投げる。そのうち,表が偶数回 (0回を含む) 出る確率を $P_e$ とし,
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表が奇数回出る確率を $P_o$ として,$P_e$ と $P_o$ の大小関係を調べたい。
\bigskip
まず,奇数の $N=2m+1$ について調べてみる。1回投げて表が出る確率を $p$ とすれば,
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$N$ 回のうちで表が $k$ 回出る確率は ${}_N\mathrm{C}_k \: \fbox{ ネ }$ であるから,
\[
P_e=\displaystyle\sum^{m}_{k=0} \: \fbox{ ノ } \: , \:\:\: P_o=\displaystyle\sum^{m}_{k=0} \: \fbox{ ハ }
\]
\bigskip
となる。ここで二項定理を応用すれば $P_e-P_0= \fbox{ ヒ }$ となるが,題意より $p>\cfrac{1}{2}$ であるから
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$P_e$ と $P_o$ の大小関係は $P_e \: \fbox{ フ } \: P_o$ となる。
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一方,$N$ が偶数のとき,上の結果 $P_e-P_0= \fbox{ ヒ }$ はそのまま成立するので $P_e$ と $P_o$ の大小
\bigskip
関係は $P_e \: \fbox{ ヘ } \: P_o$ である。
\end{document}