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解答作成者: GM
入試情報
大学名 |
立命館大学 |
学科・方式 |
理系A |
年度 |
2005年度 |
問No |
問2 |
学部 |
理工学部
|
カテゴリ |
微分法と積分法
|
状態 |
 |
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\begin{document}
$f(x)$,$g(x)$ は $-\infty <x<\infty $ で定義された実数値関数で,$f(0)^2+g(0)^2>0$ とする。また,
\bigskip
任意の実数 $x$,$y$ に対して,次の等式 $\textcircled{\footnotesize1}$,$\textcircled{\footnotesize2}$ を満たしているものとする。
\[
f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y) \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize1}
\]
\[
g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x) \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize2}
\]
\bigskip
(1)
$f(0)$ と $g(0)$ を求め,その計算過程も含めて $\fbox{ コ }$ に記入せよ。
\bigskip
(2)
等式 $\textcircled{\footnotesize1}$,$\textcircled{\footnotesize2}$ より,$y\ne 0$ に対して
\[
\cfrac{f(x+y)-f(x)}{y}=\fbox{ サ } \: f(x)- \: \fbox{ シ } \: g(x)
\]
\[
\cfrac{g(x+y)-g(x)}{y}=\fbox{ シ } \: f(x)+ \: \fbox{ サ } \: g(x)
\]
\bigskip
である。ただし,$\fbox{ サ }$ ,$\fbox{ シ }$ は $y$ の関数である。したがって,もし,$f(x)$,$g(x)$ が $x=0$
\bigskip
で微分可能で $f'(0)=2$,$g'(0)=1$ であるならば,$f(x)$,$g(x)$ はすべての $x$ で微分可能で,
\[
f'(x)=\fbox{ ス }
\]
\[
g'(x)=\fbox{ セ }
\]
\bigskip
という関係式が成り立つ。このとき,$F(x)=\log \{f(x)^2+g(x)^2\} $ とおくと,その導関数は
\bigskip
定数で $F'(x)=\fbox{ ソ }$ となる。このことと(1)の結果より $F(x)=\fbox{ タ }$ となるので,$f(x)^2+$
\bigskip
$g(x)^2=\fbox{ チ }$ となることがわかる。
\end{document}