立命館大学 理系A 2005年度 問2

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解答作成者: GM

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入試情報

大学名 立命館大学
学科・方式 理系A
年度 2005年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym,ascmac} \topmargin-.3in \oddsidemargin 0cm \evensidemargin 0cm \textheight25cm \textwidth17cm \parindent=0pt \begin{document} $f(x)$,$g(x)$ は $-\infty <x<\infty $ で定義された実数値関数で,$f(0)^2+g(0)^2>0$ とする。また, \bigskip 任意の実数 $x$,$y$ に対して,次の等式 $\textcircled{\footnotesize1}$,$\textcircled{\footnotesize2}$ を満たしているものとする。 \[ f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y) \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize1} \] \[ g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x) \cdots \cdots \textcircled{\footnotesize2} \] \bigskip (1) $f(0)$ と $g(0)$ を求め,その計算過程も含めて $\fbox{ コ }$ に記入せよ。 \bigskip (2) 等式 $\textcircled{\footnotesize1}$,$\textcircled{\footnotesize2}$ より,$y\ne 0$ に対して \[ \cfrac{f(x+y)-f(x)}{y}=\fbox{ サ } \: f(x)- \: \fbox{ シ } \: g(x) \] \[ \cfrac{g(x+y)-g(x)}{y}=\fbox{ シ } \: f(x)+ \: \fbox{ サ } \: g(x) \] \bigskip  である。ただし,$\fbox{ サ }$ ,$\fbox{ シ }$ は $y$ の関数である。したがって,もし,$f(x)$,$g(x)$ が $x=0$ \bigskip  で微分可能で $f'(0)=2$,$g'(0)=1$ であるならば,$f(x)$,$g(x)$ はすべての $x$ で微分可能で, \[ f'(x)=\fbox{ ス } \] \[ g'(x)=\fbox{ セ } \] \bigskip  という関係式が成り立つ。このとき,$F(x)=\log \{f(x)^2+g(x)^2\} $ とおくと,その導関数は \bigskip  定数で $F'(x)=\fbox{ ソ }$ となる。このことと(1)の結果より $F(x)=\fbox{ タ }$ となるので,$f(x)^2+$ \bigskip  $g(x)^2=\fbox{ チ }$ となることがわかる。 \end{document}