東京医科歯科大学 前期 2011年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問3
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 数列 ・ 関数と極限 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\Ten{\begin{picture}(7.5, 8) \put(4, 3.5){\circle*{2}} \end{picture}} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\fboxsep=1.5mm\framebox[7mm][c] {\textsf{\Large#1}}} } \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \hfill 医学部医学科 \\ [5mm]\hspace*{-.8zw}\Nbr{3}\ \ 自然数$nに対し \displaystyle \\[2mm] \hspace*{6zw} S_{\hspace*{1pt}n}=\int_0^1 \!\frac{\ \raisebox{-.5mm} {$1-(-\,x)^{\hspace*{1pt}n}$}\,}{1+x}\,dx \textstyle \\[3.5mm] \hspace*{6zw} T_{\hspace*{1pt}n}=\sum\limits_{k=1}^n \!\displaystyle \frac{\ \raisebox{-.5mm}{$(-\hspace*{3pt}1\,)^{\hspace*{1pt}k-1}$}\,} {k\hspace*{1pt}(\hspace*{1pt}k\makebox[15pt][c]{+}1\hspace*{1pt})} \\[3.5mm] \quad とおく。このとき以下の各問いに答えよ。\\[8mm]\makebox[3zw][c] {(\makebox[1.5mm][c]{1})} 次の不等式を示せ。\\[2mm]\hspace*{6zw}\ \left|\hspace*{1pt}S_{\hspace*{1pt}n}-\int_0^1 \! \frac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\hspace*{3pt}1\makebox[14pt][c]{+}x\,}\,dx\,\right| \leqq \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\hspace*{3pt}n\makebox[14pt][c]{+}1\,} \\[8mm] \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{2})} T_{\hspace*{1pt}n}-2\,S_{\hspace* {1pt}n}\,をnを用いて表せ。\\[8mm]\makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{3})} 極限値\lim_{n\to\infty} T_{\hspace*{1pt}n}\,を求めよ。$ \newpage \hfill 医学部保健衛生学科\Ten 歯学部 \\ [5mm]\hspace*{-.8zw}\Nbr{3} 自然数$nに対し \displaystyle \\[2mm] \hspace*{6zw} S_{\hspace*{1pt}n}=\int_0^1 \!\frac{\ \raisebox{-.5mm} {$1-(-\,x)^{\hspace*{1pt}n}$}\,}{1+x}\,dx \textstyle \\[3.5mm] \hspace*{6zw} T_{\hspace*{1pt}n}=\sum\limits_{k=1}^n \!\displaystyle \frac{\ \raisebox{-.5mm}{$(-\hspace*{3pt}1\,)^{\hspace*{1pt}k-1}$}\,} {k\hspace*{1pt}(\hspace*{1pt}k\makebox[15pt][c]{+}1\hspace*{1pt})} \\[3.5mm] \quad とおく。このとき以下の各問いに答えよ。\\[8mm]\makebox[3zw][c] {(\makebox[1.5mm][c]{1})} S_{\hspace*{1pt}n+1}-S_{\hspace*{1pt}n}\,をnを用いて 表せ。\\[8mm]\makebox[3zw][c] {(\makebox[1.5mm][c]{2})} 次の不等式を示せ。\\[2mm]\hspace*{6zw}\ \left|\hspace*{1pt}S_{\hspace*{1pt}n}-\int_0^1 \! \frac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\hspace*{3pt}1\makebox[14pt][c]{+}x\,}\,dx\,\right| \leqq \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\hspace*{3pt}n\makebox[14pt][c]{+}1\,} \\[8mm] \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{3})} 次の等式を示せ。\\[1.5mm] \hspace*{6zw} T_{\hspace*{1pt}n}=2\,S_{\hspace*{1pt}n}-1+\frac{\hspace*{3pt} \raisebox{-.6mm}{$(-\,\makebox[9pt][c]{1})^{\hspace*{.5pt}n}$}\,} {n\makebox[14pt][c]{+}1} \\[8mm] \makebox[3zw][c]{(\makebox[1.5mm][c]{4})} 極限値\lim_{n\to\infty} T_{\hspace*{1pt}n}\,を求めよ。$ \end{document}