慶應義塾大学 医学部 2011年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 医学部
年度 2011年度
問No 問4
学部 医学部
カテゴリ 式と証明 ・ 微分法の応用 ・ 積分法の応用 ・ いろいろな曲線
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=146mm \textheight=212mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\raisebox{.5pt}{\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1.8zw}\raisebox{1pt}{[}\makebox[1.3zw][c] {I\hspace*{-1pt}V}\raisebox{1pt}{]} {\fboxsep=.8mm \\[2mm]% \quad\textbf{以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。 また設問\ \raisebox{.7pt}{(\makebox[10pt][c]{3})}}\\[1mm]\textgt{に 答えなさい。}$ \\[5mm]% \quad 関数y=\dfrac{\makebox[12pt][c]{\raisebox{-.5mm}{1}}}{\,x\,}\,および\ y= \dfrac{\raisebox{-.5mm}{$k$}}{\,x\,}\,\paalen{ただしk\,\mbox{\Large$>$}\,1}\,の グラフの\ x\,\mbox{\Large$>$}\,0\ に対する部分をそれぞれ\\[2mm]曲線C_1,\ \,C_2 \,とする。曲線C_2$上の点P$\biggl(a,\hspace*{2.4pt}\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$k$}} {\,a\,}\makebox[7.5pt][c]{$\biggr)\hspace*{1pt}$}を通って負の傾きmをもつ直線lが 曲線\\[2mm]C_1$\,と\hspace*{1pt}交\hspace*{1pt}わ\hspace*{1pt}る\makebox[1zw] [c]{2}点\hspace*{1pt}の\hspace*{1pt}う\hspace*{1pt}ち,\,$x座\hspace*{1pt}標% \hspace*{1pt}の\hspace*{1pt}小\hspace*{1pt}さ\hspace*{1pt}い\hspace*{1pt}ほ% \hspace*{1pt}う\hspace*{1pt}を\makebox[15pt][c]{A}(x_1,\ y_1),\ \ x$座\hspace* {1pt}標\hspace*{1pt}の\hspace*{1pt}大\hspace*{1pt}き\hspace*{1pt}い\hspace* {1pt}ほ\hspace*{1pt}う\hspace*{1pt}を\\[1.5mm]B\makebox[4zw][c]{$(x_2,\ y_2)$}% とする。また直線\makebox[1zw][c]{\hspace*{1pt}$l$}と曲線$C_1\hspace*{1pt}で 囲まれる領域の面積をSとする。\\[5mm]% \makebox[4zw][c]{(\makebox[1zw][c]{1})} \mbox{AB}\,\raisebox{.5pt}{=}\, \sqrt{\,\kobox{\paalen{あ}}\,}\,で\hspace*{.5pt}あ\hspace*{.5pt}る。ま\hspace* {.5pt}たm\,\mbox{\Large$<$}\,0を固定し,\ \ aを正の実数全体に\hspace*{.5pt}わ \hspace*{.5pt}た\makebox[11pt][c]{っ}て\\[2mm]\hspace*{3zw}動かすとき,\ \ a=\kobox{\paalen{い}}\hspace*{3pt}において\mbox{AB}は最小値をとる。\\[5mm] \makebox[4zw][c]{(\makebox[1zw][c]{2})} a\,\mbox{\Large$>$}\,0$を\hspace* {-.3pt}固\hspace*{-.3pt}定\hspace*{-.3pt}す\hspace*{-.3pt}る\hspace*{-.3pt}と% \hspace*{-.3pt}き,AP\,\raisebox{.5pt}{=}\,PBが\hspace*{-.3pt}成\hspace* {-.3pt}り\hspace*{-.3pt}立\hspace*{-.3pt}つ\hspace*{-.3pt}よ\hspace*{-.3pt}う% \hspace*{-.3pt}な$mの\hspace*{-.3pt}値\hspace*{-.3pt}は\hspace*{3pt} \kobox{\paalen{う}}\hspace*{2.4pt}で\hspace*{-.3pt}あ\hspace*{-.3pt}る。\\[5mm] \makebox[4zw][c]{(\makebox[1zw][c]{3})} a\,\mbox{\Large$>$}\,0\hspace*{2.5pt}を \hspace*{-.4pt}固\hspace*{-.4pt}定\hspace*{-.4pt}し,\ \,m\,を\hspace*{-.4pt}負 \hspace*{-.4pt}の\hspace*{-.4pt}実\hspace*{-.4pt}数\hspace*{-.4pt}全\hspace* {-.4pt}体\hspace*{-.4pt}に\hspace*{-.4pt}わ\hspace*{-.4pt}た\hspace*{0pt}っ \hspace*{0pt}て\hspace*{-.4pt}動\hspace*{-.4pt}か\hspace*{-.4pt}す\hspace* {-.4pt}と\hspace*{-.4pt}き,\ \,x_1,\hspace*{3.6pt}x_2,\hspace*{3.6pt}S \makebox[14pt][c]{を}m\,の\hspace*{-.4pt}関\hspace*{-.4pt}数 \\[1.8mm] \hspace*{3zw} と\hspace*{1pt}考\hspace*{1pt}え\hspace*{1pt}て\hspace*{1pt}そ \hspace*{1pt}れ\hspace*{1pt}ぞ\hspace*{1pt}れ\ x_1(m)\hspace*{1pt},\ \,x_2(m) \hspace*{1pt},\ \,S(m)\,と\hspace*{1pt}書\hspace*{1pt}く。\ \ S(m)の\hspace* {1pt}導\hspace*{1pt}関\hspace*{1pt}数\,\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$d$}}{\,dm\,} S(m)\,を \\[1.5mm]\hspace*{3zw} x_1(m)\hspace*{1pt},\ \,x_2(m)を\hspace*{.7pt} 用\hspace*{.7pt}い\hspace*{.7pt}た\hspace*{.7pt}式\hspace*{.8pt}で\hspace* {.7pt}表\hspace*{.7pt}し\hspace*{.7pt}な\hspace*{.7pt}さ\hspace*{.7pt}い。ま \hspace*{1pt}た\ S(m)は\ m\hspace*{2pt}\raisebox{.5pt}{=}\hspace*{3pt} \kobox{\paalen{う}}\hspace*{3pt}に\hspace*{.7pt}お\hspace*{.7pt}い\hspace* {.7pt}て \\[1.5mm]\hspace*{3zw} 最小値をとることを示しなさい。\\[5mm] \makebox[4zw][c]{(\makebox[1zw][c]{4})} m\hspace*{2pt}\raisebox{.5pt}{=} \hspace*{3pt}\kobox{\paalen{う}}\hspace*{3pt}に\hspace*{1pt}対\hspace*{1pt}す \hspace*{1pt}るS(m)の\hspace*{.8pt}値\hspace*{.8pt}をS_0\,と\hspace*{1pt}す \hspace*{1pt}る\hspace*{1pt}とS_0=\kobox{\paalen{え}}\ で\hspace*{.8pt}あ \hspace*{.8pt}る。し\hspace*{.8pt}た\\[1.5mm]\hspace*{3zw}がってS_0\,は aの値にはよらず,\ \,kだけで定まる。$} \end{document}