慶應義塾大学 理工学部 2011年度 問5

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2011年度
問No 問5
学部 理工学部
カテゴリ 三角関数 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=142mm \textheight=210mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP} \pagestyle{empty} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut\hspace*{.5pt}\mathrm{#1}\hspace*{.5pt}}} \def\kobox#1{{\fboxsep=.7mm\framebox[14.5mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1.7zw}% {\LARGE\textbf{B\,1}} \\[4mm]\hspace*{-.7zw}% 座標空間で次の8つの点 \\[4mm]\hspace*{5.4zw}% A$\,(-1,\ 1,\ 2)$,\ \ B$\,(-1,\ -1,\ 2)$,\ \ C$\,(1,\ -1,\ 2)$,\ \ D$\, (1,\ 1,\ 2)$ \\[1.5mm]\hspace*{5.4zw}E$\,(-1,\ 1,\ 0)$,\ \ F$\,(-1,\ -1,\ 0) $,\ \ G$\,(1,\ -1,\ 0)$,\ \ H$\,(1,\ 1,\ 0)$ \\[4mm]% \hspace*{-1.7zw}を頂点とする1辺の長さ2の立方体ABCD\begin{picture}(5,10) \path(0.5, 4)(4.5, 4) \end{picture}EFGHを考える。\hspace*{-1pt}いま,\hspace* {-1pt}点P$(x,\ y,\ 0)\!$を正方形\\[1.5mm]\hspace*{-1.7zw}\hspace*{1pt}EFGH内の 点\paalen{辺上も含む,ただしP\,$\neqq$\,G}とし,点A\hspace*{1pt}と点G\hspace* {1pt}を通る直線を\makebox[1zw][c]{$\ell$}とする。\\ \hspace*{12.5zw}\begin{picture}(150,130) \path(-25,-17.5)(70,49) \path(78, 54.6)(145, 101.5) \put(135,102){$\ell$} \allinethickness{.8pt}\path(0,66)(0,0)(80,-16)(80,50)(0,66) \path(80,-16)(120,18)(120,84)(80,50) \path(0,66)(40,99)(120,84) \put(113,91){A} \put(36,104){B} \put(-11,67){C} \put(84,41){D} \put(125,13){E} \put(29,33){F} \put(-12,1){G} \put(76,-27){H} \put(60,9){\circle*{2}} \put(50.5, -2.5){O} \put(95,8){\circle*{2}} \put(100,10){P} \allinethickness{.2pt} \dashline[10]{3}(0,0)(40,33)(120,18) \dashline[10]{3}(40,33)(40,99) \end{picture} \\[17mm]% \hspace*{-1.7zw}(\makebox[1zw][c]{1})\ \ \,点Qを直線\makebox[1zw][c]{$\ell$}上 の点で\ $\Vec{AQ}=t\,\Vec{AG}\ \paalen{\hspace*{1pt}tは実数}\,を 満たすものとする。\ \ \Vec{PQ}\,と\,\Vec{AG}\,が\\[1.5mm] 直交するときtをxとyで表すとt=\kobox{\paalen{マ}}\ となる。$ \\[8mm]% \hspace*{-1.7zw}(\makebox[1zw][c]{2})\ \ \,点Pから直線\makebox[1zw][c] {$\ell$}に下ろした垂線の足は点Aと点Gの間にあることを証明しなさい。\\[8mm]% \hspace*{-1.7zw}(\makebox[1zw][c]{3})\ \ \,点Pが原点O\,$(\hspace*{.5pt}0,\ 0,\ 0\hspace*{.5pt})を中心とするxy$平面上の半径1の円周上を動くとし,Pの\\ [1.5mm]座標を$(\hspace*{1pt}\cos\theta,\ \sin\theta,\ 0\hspace*{1pt})\ (\hspace*{1pt}0\leqq\theta\,\mbox{\Large$<$}\,2\pi\hspace*{1pt})$と\hspace* {.4pt}書\hspace*{.4pt}く\hspace*{.4pt}こ\hspace*{.4pt}と\hspace*{.4pt}に% \hspace*{.4pt}す\hspace*{.4pt}る。こ\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}と\hspace* {.5pt}き,三\hspace*{.5pt}角\hspace*{.5pt}形APGの\\[1.5mm]面積の最大値と 最小値,およびそれらを与える\makebox[1zw][c]{$\theta$}の値を求めなさい。 求める過程も書き\\[1.5mm]なさい。 \end{document}