慶應義塾大学 理工学部 2011年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2011年度
問No 問4
学部 理工学部
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=142mm \textheight=210mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb,emathP,fancybox} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=.7mm\framebox[14.5mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1.7zw}% {\LARGE\textbf{A\,4}} \\[4mm]\hspace*{-.5zw}% 1辺の長さが1の正五角形の5つの頂点に反時計回りにA,\ \,B,\ \,C,\ \,D,\ \,Eと 名前をつける。\\[1.5mm]\hspace*{-1.7zw}いま,初めに頂点Aに白玉を1個,頂点Cに 赤玉を1個置き次の操作を繰り返し行う。\\[8mm]% \hspace*{-1.8zw}\cornersize*{5mm}\ovalbox{\hspace*{10pt}\parbox{140mm} {\begin{picture}(0,0)\Nuritubusi[0]{(5,1)(36,1)(36,6)(5,6)(5,1)} \put(10,-1){操作}\end{picture}\\[2mm]コイン1枚とさいころ1個を同時に投げる。 コインの表が出たら白玉を,裏が出たら\\[1.5mm]赤玉を選んでさいころの出た目の数の 長さだけ正五角形の辺上を反時計回りに動かす。\\[1.5mm]また,玉\hspace*{-.3pt}が% \hspace*{-.3pt}到\hspace*{-.3pt}達\hspace*{-.3pt}し\hspace*{-.3pt}た\hspace* {-.3pt}頂\hspace*{-.3pt}点\hspace*{-.3pt}に\hspace*{-.3pt}別\hspace*{-.3pt}の% \hspace*{-.3pt}色\hspace*{-.3pt}の\hspace*{-.3pt}玉\hspace*{-.3pt}が\hspace* {-.3pt}あ\hspace*{-.3pt}る\hspace*{-.3pt}場\hspace*{-.3pt}合\hspace*{-.3pt}は, 玉\hspace*{-.3pt}を\hspace*{-.3pt}動\hspace*{-.3pt}か\hspace*{-.3pt}す\hspace* {-.3pt}前\hspace*{-.3pt}に\hspace*{-.3pt}あった2つ\hspace*{-.3pt}の\hspace* {-.3pt}玉\hspace*{-.3pt}の\\[1mm]位置を入れ替えるものとする。\\ [1mm]}\hspace*{10pt}}\\[8mm]% \hspace*{-.7zw}たとえば1回目にコインの表とさいころの6の目が出たとすると白玉がA$ \,\to$\,B\,$\to$\,C\,$\to$\,D\,$\to$\\[1.5mm]\hspace*{-1.7zw}\,E\makebox[12pt] [c]{$\to$}A\makebox[12pt][c]{$\to$}Bと動き,白玉の位置が頂点Bとなる。続いて2回 目にコインの裏とさいころの4 \\[1.5mm]\hspace*{-1.7zw}の目が出たとすると赤玉 がC\makebox[12pt][c]{$\to$}D\makebox[12pt][c]{$\to$}E\makebox[12pt][c]{$\to$}A% \makebox[12pt][c]{$\to$}Bと動き,到達した頂点Bに白玉があるので,\\[1.5mm]% \hspace*{-1.7zw}赤玉を頂点Bに置き,頂点Bにあった白玉を頂点Cに移す。\\[1.5mm]% \hspace*{-.7zw}以下,2つの玉が正五角形の隣り合う2頂点にある状態を% 「状態\paalen{\textbf{S}}」と呼ぶことにする。\\[8mm]% \hspace*{-1.7zw}(\makebox[1zw][c]{1})\ \ \,2回目の操作を終えたとき頂点Dと頂点E% に玉がある確率は\ \kobox{\paalen{ノ}}\ である。\\[8mm]% \hspace*{-1.7zw}(\makebox[1zw][c]{2})\ \ \,$n$回目の操作を終えたとき状態% \paalen{\textbf{S}}となる確率を\hspace*{3pt}\raisebox{1pt}{$p_{\hspace*{.5pt}n} $}\,とする。$p_1=\kobox{\paalen{ハ}}\ である。\\[1.2mm]また\ \raisebox{1pt} {$p_{\hspace*{.5pt}n+1}$}\,と\ \raisebox{1pt}{$p_{\hspace*{.5pt}n}$}\,の間には \ \raisebox{1pt}{$p_{\hspace*{.5pt}n+1}\hspace*{-1pt}=$}\ \kobox{\paalen{ヒ}}\ という関係式が成り立つ。これより\ \raisebox{1pt}{$p_{\hspace*{.5pt}n}$}\,を nを\\[1.2mm]用いて表すと\ \raisebox{1pt}{$p_{\hspace*{.5pt}n}\hspace*{-1pt} =$}\ \kobox{\paalen{フ}}\ となる。\\[8mm]% \hspace*{-1.7zw}(\makebox[1zw][c]{3})\ \ \,n回目の操作を終えたとき初めて状態 \paalen{\textbf{S}}となる確率を\ \raisebox{1pt}{$q_{\hspace*{1pt}n}$}\,とする。 \ \ \raisebox{1pt}{$q_{\hspace*{1pt}n}$}\,をnを用いて\\[1.5mm]表すと\ \raisebox {1pt}{$q_{\hspace*{1pt}n}\hspace*{-1pt}=$}\ \kobox{\paalen{ヘ}}\,である。\\ [1.5mm]\quad いま,状態\paalen{\textbf{S}}となるまで操作を繰り返し, 状態\paalen{\textbf{S}}となった時点で操作を終了する。\\[1.5mm]ただし,操作を r回行っても状態\paalen{\textbf{S}}とならない場合はr回で操作を終了することと\\ [1.5mm]する。このとき,操作を行う回数の期待値をrを用いて表すと\, \kobox{\paalen{ホ}}\,となる。$ \end{document}