慶應義塾大学 理工学部 2011年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2011年度
問No 問3
学部 理工学部
カテゴリ 図形と方程式 ・ ベクトル ・ 積分法の応用 ・ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=142mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=.7mm\framebox[14.5mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1.7zw}% {\LARGE\textbf{A\hspace*{3.5pt}3}} \\[4mm]\hspace*{-.7zw}% 実数\makebox[1zw][c]{$\theta$}は $ \\[4mm] \hspace*{15zw} \dfrac{\raisebox{-.5mm}{$\pi$}}{\makebox[12pt][c]{6}} <\theta<\dfrac{\raisebox{-.5mm}{5}}{\makebox[12pt][c]{6}}\pi \\[4mm]% \hspace*{-1.7zw}の範囲を動くとする。空間内の動点\makebox[1zw][c]{\,P} (\sqrt{\makebox[8pt][c]{3}}\cos\theta,\ -2,\ \sqrt{\makebox[8pt][c]{3}}\sin \theta)と点\makebox[1zw][r]{Q}\biggl(0,\ -\dfrac{1}{\makebox[12pt][c]{2}},\ \dfrac{\sqrt{\makebox[8pt][c]{3}}\,}{2}\biggr)を$\\[1.5mm]\hspace*{-1.7zw}通る 直線が,$xy平面と交わる点を\makebox[1zw][c]{\,R}(x,\ y,\ 0)とする。\ \, x,\ yを\,\theta\,の関数として表すと,\\[4mm] \hspace*{12zw} x=\kobox{\paalen{チ}}\,,\ \ y=\kobox{\paalen{ツ}} \\[4mm] \hspace*{-1.7zw}となる。これより,\ \ \cos\theta\,と\sin\theta\,をx,\ yを用いて 表すと,\\[4mm]\hspace*{10.5zw} \cos\theta=\kobox{\paalen{テ}}\,,\ \ \sin\theta=\kobox{\paalen{ト}} \\[4mm] \hspace*{-1.7zw}となる。したがって,\ \ \theta$が上の範囲を動くとき,点Rの$xy 平面上の軌跡の方程式をy=f(x)\\[1.2mm]\hspace*{-1.7zw}とすれば,\ \ f(x)=\kobox{\paalen{ナ}}\ となる。\\[1.8mm]% \hspace*{-.7zw}次に,\ \ xy平面内の領域Dを \\[4mm] \hspace*{12zw} D=\biggl\{\ (x,\ y)\ \bigg|\ f(x)\leqq y\leqq \dfrac{\raisebox{-.5mm}{5}}{\makebox[12pt][c]{4}}\,\biggr\} \\[4mm] \hspace*{-1.7zw}と定め,領域Dの面積を求めることを考える。直線y= \dfrac{\raisebox{-.5mm}{5}}{\makebox[12pt][c]{4}}$を原点O$(0,\ 0)を中心として, \\[1mm]\hspace*{-1.7zw}-\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$\pi$}}{\makebox[12pt][c]{4}}\, 回転した直線の方程式は\ y=\kobox{\paalen{ニ}}\ となる。また,曲線y=f(x)を 原点を中心と\\[1mm]\hspace*{-1.7zw}して,\ \,-\!\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$\pi$}} {\makebox[12pt][c]{4}}\,回転した曲線の方程式をy=g(x)\ \,(x>0)とすれば,\\[4mm] \hspace*{14.7zw} g(x)=\kobox{\paalen{ヌ}} \\[4mm] \hspace*{-1.7zw}となる。領域Dを原点を中心として,\ \ -\dfrac{\raisebox{-.5mm} {$\pi$}}{\makebox[12pt][c]{4}}\,回転した領域をD'\,とすれば,領域Dと領域D' \\ [1mm]\hspace*{-1.7zw}は合同だから,\\[4mm] \hspace*{11zw} Dの面積\ \raisebox{.5pt}{=}\ D'\,の面積\ \raisebox{.5pt}{=} \ \kobox{\paalen{ネ}} \\[4mm] \hspace*{-1.7zw}である。$ \end{document}