大阪大学 前期理系 2011年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2011年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 確率 ・ 数列 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\LLL{{\lll}} \def\RRR{{\rrr}} \def\LL{{\ll}} \def\RR{{\rr}} \def\Sp{{\mathrm{S}}} \def\Op{{\mathrm{O}}} \usepackage{vector3} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 正数 $r$ に対して, $a_1 = 0,\enskip a_2 = r$ とおき, 数列 $\{a_n\}$ を次の漸化式で定める. \[ a_{n+1} = a_n + r_n(a_n - a_{n-1}) \quad (n = 2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] ただし $a_n$ と $a_{n-1}$ から漸化式を用いて $a_{n+1}$ を決める際には 硬貨を投げ,\smallskip 表がでたとき $r_n = \dfrac{r}{2}$, 裏がでたとき $r_n = \dfrac{1}{2r}$ とする.\smallskip ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする. $a_n$ の期待値を $p_n$ とするとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \item[(1)]  $p_3$ および $p_4$ を, $r$ を用いて表せ. \item[(2)]  $n \geqq 3$ のときに $p_n$ を, $n$ と $r$ を用いて表せ. \item[(3)]  数列 $\{p_n\}$ が収束するような正数 $r$ の範囲を求めよ. \item[(4)]  $r$ が(3)で求めた範囲を動くとき, 極限値 $\lim\limits_{n \to \infty} p_n$ の最小値を求めよ.\smallskip \\ \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}