大阪大学 前期理系 2011年度 問4

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2011年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $a,\ b,\ c$ を正の定数とし, $x$ の関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ を考える. 以下, 定数はすべて実数とする. \begin{enumerate} \item[(1)]  定数 $p,\ q$ に対し, 次をみたす定数 $r$ が存在することを示せ. \[ x \geqq 1 \enskip ならば \enskip \zettaiti{px + q} \leqq rx \] \item[(2)]  恒等式 $(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) = \alpha^3 - \beta^3$ を用いて, 次をみたす定数 $k,\ l$ が存在することを示せ. \[ x \geqq 1 \enskip ならば \enskip \zettaiti{\sqrt[3]{\vphantom{b} f(x)} - x - k} \leqq \frac{l}{x} \] \item[(3)]  すべての自然数 $n$ に対して, $\sqrt[3]{\vphantom{b} f(x)}$ が自然数であるとする. このとき関数 $f(x)$ は, 自然数の定数 $m$ を用いて $f(x) = (x + m)^3$ と表されることを示せ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}