大阪大学 文系 2011年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 2011年度
問No 問3
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $a,\ b,\ c$ を実数とする.\smallskip ベクトル $\bekutoru{$v_1$} = (3,\ 0),\enskip \bekutoru{$v_2$} = (1,\ 2\sqrt{\vphantom{b} 2}\,),\enskip \bekutoru{$v_3$} = a\bekutoru{$v_1$} + b\bekutoru{$v_2$}$ とおく. 座標平面上のベクトル $\vecp$ に対する条件 \begin{gather*} (*) \qquad (\bekutoru{$v_1$} \cdot \vecp)\bekutoru{$v_1$} + (\bekutoru{$v_2$} \cdot \vecp)\bekutoru{$v_2$} + (\bekutoru{$v_3$} \cdot \vecp)\bekutoru{$v_3$} = c\vecp \end{gather*} を考える. ここで $\bekutoru{$v_i$} \cdot \vecp \enskip(i = 1,\ 2,\ 3)$ は ベクトル $\bekutoru{$v_i$}$ と $\vecp$ の内積を表す. このとき以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  座標平面上の任意のベクトル $\vecv = (x,\ y)$ が, 実数 $s,\ t$ を用いて \smallskip\\ $\vecv = s\bekutoru{$v_1$} + t\bekutoru{$v_2$}$ と 表されることを, $s$ および $t$ の各々を $x,\ y$ の式で表すことによって示せ. \item  $\vecp = \bekutoru{$v_1$}$ と $\vecp = \bekutoru{$v_2$}$ の 両方が条件 $(*)$ をみたすならば,\smallskip 座標平面上のすべてのベクトル $\vecv$ に対して, $\vecp = \vecv$ が条件 $(*)$ をみたすことを示せ. \item  座標平面上のすべてのベクトル $\vecv$ に対して, $\vecp = \vecv$ が条件をみたす. このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ. \hfill (配点率35%) \end{enumerate} \end{document}