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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
文系 |
年度 |
2011年度 |
問No |
問3 |
学部 |
文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
|
カテゴリ |
ベクトル
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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$a,\ b,\ c$ を実数とする.\smallskip
ベクトル $\bekutoru{$v_1$} = (3,\ 0),\enskip
\bekutoru{$v_2$} = (1,\ 2\sqrt{\vphantom{b} 2}\,),\enskip
\bekutoru{$v_3$} = a\bekutoru{$v_1$} + b\bekutoru{$v_2$}$ とおく.
座標平面上のベクトル $\vecp$ に対する条件
\begin{gather*}
(*) \qquad
(\bekutoru{$v_1$} \cdot \vecp)\bekutoru{$v_1$}
+ (\bekutoru{$v_2$} \cdot \vecp)\bekutoru{$v_2$}
+ (\bekutoru{$v_3$} \cdot \vecp)\bekutoru{$v_3$}
= c\vecp
\end{gather*}
を考える.
ここで $\bekutoru{$v_i$} \cdot \vecp \enskip(i = 1,\ 2,\ 3)$ は
ベクトル $\bekutoru{$v_i$}$ と $\vecp$ の内積を表す.
このとき以下の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
座標平面上の任意のベクトル $\vecv = (x,\ y)$ が,
実数 $s,\ t$ を用いて \smallskip\\
$\vecv = s\bekutoru{$v_1$} + t\bekutoru{$v_2$}$ と
表されることを,
$s$ および $t$ の各々を $x,\ y$ の式で表すことによって示せ.
\item
$\vecp = \bekutoru{$v_1$}$ と $\vecp = \bekutoru{$v_2$}$ の
両方が条件 $(*)$ をみたすならば,\smallskip
座標平面上のすべてのベクトル $\vecv$ に対して,
$\vecp = \vecv$ が条件 $(*)$ をみたすことを示せ.
\item
座標平面上のすべてのベクトル $\vecv$ に対して,
$\vecp = \vecv$ が条件をみたす.
このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ.
\hfill
(配点率35%)
\end{enumerate}
\end{document}