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解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
後期理系 |
| 年度 |
2001年度 |
| 問No |
問3 |
| 学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
| カテゴリ |
微分法の応用 ・ 積分法の応用
|
| 状態 |
   |
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\begin{document}
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座標平面上において，
点Pと点Qは時刻0から$\pi$まで，
次の条件にしたがって動く．
点Pは点$\A(-1,\,\,0)$を出発し，
原点Oを中心とする半径1の円周上を時計回りに動く．
ただし，時刻$t$でPは $\angle\P\Op\A = t\,\,\,(0 \leqq t \leqq \pi)$をみたす．
点Pを通り$x$軸に垂直な直線が直線 $y = -1$ と交わる点をHとする．
点QはPの回りを反時計回りに $\P\Q = t\,\,\,(0 \leqq t \leqq \pi)$ および %
$\angle\H\P\Q = t\,\,\,(0 \leqq t \leqq \pi)$ をみたすように動く．
時刻$\pi$におけるQの位置をBとする．
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)]
時刻$t$におけるQの座標を$(x,\,\,y)$とする．
$x$ と $y$ を $t$ で表し，
$y$ は $t$ について単調に増加することを示せ．
\item[(2)]
時刻$\dfrac{j\pi}{6}$と$\dfrac{(j+1)\pi}{6}$の間でQの$x$座標が最大値をとるように整数 $j$ を定めよ．
\item[(3)]
点Aを通り$y$軸に平行な直線，
点Bを通り$x$軸に平行な直線，
およびQの軌跡で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．\\
\hfill(工学部・基礎工学部 配点率40％，
理学部 50点)
\begin{center}
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\begin{picture}( 18.2200, 16.4400)( 4.7000,-22.2400)
% VECTOR 2 0 3 0
% 2 470 1504 2292 1504
%
\special{pn 8}%
\special{pa 470 1504}%
\special{pa 2292 1504}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 2292 1504}%
\special{pa 2226 1484}%
\special{pa 2240 1504}%
\special{pa 2226 1524}%
\special{pa 2292 1504}%
\special{fp}%
% VECTOR 2 0 3 0
% 2 1860 2224 1860 640
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1860 2224}%
\special{pa 1860 640}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 1860 640}%
\special{pa 1840 708}%
\special{pa 1860 694}%
\special{pa 1880 708}%
\special{pa 1860 640}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 1860 1504 852 856
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1860 1504}%
\special{pa 852 856}%
\special{fp}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 852 856 1185 1395
%
\special{pn 8}%
\special{pa 852 856}%
\special{pa 1186 1396}%
\special{fp}%
% LINE 2 2 3 0
% 2 852 856 852 2080
%
\special{pn 8}%
\special{pa 852 856}%
\special{pa 852 2080}%
\special{dt 0.045}%
% DOT 0 0 3 0
% 1 657 1504
%
\special{pn 20}%
\special{sh 1}%
\special{ar 658 1504 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2200 1558 2200 1630 2 0
% $x$
\put(22.0000,-16.3000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1720 678 1720 750 2 0
% $y$
\put(17.2000,-7.5000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1220 1378 1220 1450 2 0
% {\footnotesize Q}
\put(12.2000,-14.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize Q}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1730 1558 1730 1630 2 0
% {\footnotesize O}
\put(17.3000,-16.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 751 762 751 834 2 0
% {\footnotesize P}
\put(7.5100,-8.3400){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize P}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 578 1578 578 1650 2 0
% {\footnotesize A}
\put(5.7800,-16.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}%
\end{picture}%
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}
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