大阪大学 後期理系 2001年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 2001年度
問No 問3
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\Op{{\mathrm{O}}} \usepackage{vector3} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 座標平面上において, 点Pと点Qは時刻0から$\pi$まで, 次の条件にしたがって動く. 点Pは点$\A(-1,\,\,0)$を出発し, 原点Oを中心とする半径1の円周上を時計回りに動く. ただし,時刻$t$でPは $\angle\P\Op\A = t\,\,\,(0 \leqq t \leqq \pi)$をみたす. 点Pを通り$x$軸に垂直な直線が直線 $y = -1$ と交わる点をHとする. 点QはPの回りを反時計回りに $\P\Q = t\,\,\,(0 \leqq t \leqq \pi)$ および % $\angle\H\P\Q = t\,\,\,(0 \leqq t \leqq \pi)$ をみたすように動く. 時刻$\pi$におけるQの位置をBとする. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \item[(1)]  時刻$t$におけるQの座標を$(x,\,\,y)$とする. $x$ と $y$ を $t$ で表し, $y$ は $t$ について単調に増加することを示せ. \item[(2)]  時刻$\dfrac{j\pi}{6}$と$\dfrac{(j+1)\pi}{6}$の間でQの$x$座標が最大値をとるように整数 $j$ を定めよ. \item[(3)]  点Aを通り$y$軸に平行な直線, 点Bを通り$x$軸に平行な直線, およびQの軌跡で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ.\\ \hfill(工学部・基礎工学部 配点率40%, 理学部 50点) \begin{center} %\input{osaka2001s3s_zu_2} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 18.2200, 16.4400)( 4.7000,-22.2400) % VECTOR 2 0 3 0 % 2 470 1504 2292 1504 % \special{pn 8}% \special{pa 470 1504}% \special{pa 2292 1504}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2292 1504}% \special{pa 2226 1484}% \special{pa 2240 1504}% \special{pa 2226 1524}% \special{pa 2292 1504}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1860 2224 1860 640 % \special{pn 8}% \special{pa 1860 2224}% \special{pa 1860 640}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1860 640}% \special{pa 1840 708}% \special{pa 1860 694}% \special{pa 1880 708}% \special{pa 1860 640}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1860 1504 852 856 % \special{pn 8}% \special{pa 1860 1504}% \special{pa 852 856}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 852 856 1185 1395 % \special{pn 8}% \special{pa 852 856}% \special{pa 1186 1396}% \special{fp}% % LINE 2 2 3 0 % 2 852 856 852 2080 % \special{pn 8}% \special{pa 852 856}% \special{pa 852 2080}% \special{dt 0.045}% % DOT 0 0 3 0 % 1 657 1504 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 658 1504 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % STR 2 0 3 0 % 3 2200 1558 2200 1630 2 0 % $x$ \put(22.0000,-16.3000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1720 678 1720 750 2 0 % $y$ \put(17.2000,-7.5000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1220 1378 1220 1450 2 0 % {\footnotesize Q} \put(12.2000,-14.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize Q}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1730 1558 1730 1630 2 0 % {\footnotesize O} \put(17.3000,-16.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 751 762 751 834 2 0 % {\footnotesize P} \put(7.5100,-8.3400){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize P}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 578 1578 578 1650 2 0 % {\footnotesize A} \put(5.7800,-16.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% \end{picture}% \end{center} \end{enumerate} \end{document}