センター試験 数学Ⅱ・B 2012年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2012年度
問No 問4
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{okumacro,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\ZK#1{\left|#1\right|} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ 空間に異なる4点O,A,B,Cを,$\Vec{OA}\perp\Vec{OB}$,$\Vec{OB}\perp\Vec{OC}$,$\Vec{OC}\perp\Vec{OA}$となるようにとり,$\Vec{OA}=\vec{a}$,$\Vec{OB}=\vec{b}$,$\Vec{OC}=\vec{c}$とおく。さらに,3点D,E,Fを,$\Vec{OD}=\vec{a}+\vec{b}$,$\Vec{OE}=\vec{b}+\vec{c}$,$\Vec{OF}=\vec{a}+\vec{c}$となるようにとり,線分BDの中点をL,線分CEの中点をMとし,線分ADを$3:1$に内分する点をNとする。 \begin{shomon} $\Vec{OM}$,$\Vec{ON}$は,$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$を用いて \[\Vec{OM}=\frac{1}{\FBA{ア}}\vec{b}+\vec{c},\,\Vec{ON}=\vec{a}+\frac{\FBA{イ}}{\FBA{ウ}}\vec{b}\] と表される。 \end{shomon} \begin{shomon} 2直線FL,MNが交わることを確かめよう。$0<s<1$とし,線分FLを$s:(1-s)$に内分する点をPとする。$\Vec{OP}$は,$s$と$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$を用いて \[\Vec{OP}=\SK{\FBA{エ}-\frac{s}{\FBA{オ}}}\vec{a}+s\vec{b}+\SK{\FBA{カ}-s}\vec{c}\] と表される。$s=\dfrac{\FBA{キ}}{\FBA{ク}}$のとき,$\Vec{MP}=\dfrac{\FBA{ケ}}{\FBA{コ}}\Vec{MN}$となるので,M,N,Pは一直線上にある。よって,2直線FL,MNは交わることがわかる。 \end{shomon} \begin{shomon} 2直線FL,MNの交点をGとする。$\Vec{OG}$,$\Vec{GF}$は,$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$を用いて \[\Vec{OG}=\frac{\FBA{サ}}{\FBA{シ}}\SK{\FBA{ス}\vec{a}+\FBA{セ}\vec{b}+\vec{c}}\] \[\Vec{GF}=\frac{\FBAS{サ}}{\FBAS{シ}}\SK{\vec{a}-\FBAS{セ}\vec{b}+\FBA{ソ}\vec{c}}\] と表される。\\ \quad $\vabs{\vec{a}}=\dsqrt{5}$,$\vabs{\vec{b}}=4$,$\vabs{\vec{c}}=\dsqrt{3}$とする。このとき,$\vabs{\Vec{GF}}=\FBA{タ}$,$\vabs{\Vec{GM}}=2$となる。\\ \quad 次に,直線OC上に点Hをとり,実数$t$を用いて,$\Vec{OH}=t\vec{c}$と表す。$\Vns{GF}{GH}$,$\Vns{GM}{GH}$は,$t$を用いて \[\Vns{GF}{GH}=\FBA{チ}t+\frac{\FBA{ツテ}}{\FBA{ト}}\Cdots\maruichi\] \[\Vns{GM}{GH}=2t+\frac{10}{3}\Cdots\maruni\] と表される。\\ \quad さらに,$\Kaku{FGH}=\Kaku{MGH}$とする。このときの$t$の値を求めよう。$\vabs{\Vec{GF}}=\FBAS{タ}$,$\vabs{\Vec{GM}}=2$と$\Kaku{FGH}=\Kaku{MGH}$であることから \[\Vns{GF}{GH}=\frac{\FBA{ナ}}{\FBA{ニ}}\Vns{GM}{GH}\Cdots\marusan\] が成り立つ。$\maruichi$,$\maruni$,$\marusan$から,$t=\dfrac{\FBA{ヌ}}{\FBA{ネ}}$である。 \end{shomon} \end{document}