センター試験 数学Ⅱ・B 2012年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2012年度
問No 問3
学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\gun{\makebox[2zw][c]{$\left|\vphantom{\int{2}{2}}\right.$}}%群数列の仕切り \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \h{\large \gt{第3問}}(配点 \; 20)\\ $\CK{a_n}$を$a_2=-\dfrac{7}{3}$,$a_5=-\dfrac{25}{3}$である等差数列とし,自然数$n$に対して,$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$とおく。\\ \quad $a_1=\dfrac{\FBA{アイ}}{\FBA{ウ}}$であり,$\CK{a_n}$の公差は\FBA{エオ}である。したがって \[a_n=\FBA{カキ}n+\frac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}} \quad\qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\] \[S_n=\FBA{コ}n^2+\frac{\FBA{サ}}{\FBA{シ}}n \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\] である。\\ \quad 次に,数列$\CK{b_n}$は \[\sum_{k=1}^{n}b_k=\frac{4}{3}b_n+S_n \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\Cdots\maruichi\] を満たすとする。数列$\CK{b_n}$の一般項を求めよう。$\maruichi$から,$b_1=\FBA{ス}$である。さらに,$\sum_{k=1}^{n+1}b_k=\sum_{k=1}^{n}b_k+b_{n+1}$に注意して,$\maruichi$を利用すると \[b_{n+1}=\FBA{セ}b_n+\FBA{ソ}n+\FBA{タ} \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\] が成り立ち,この等式は \[b_{n+1}+\FBA{チ}(n+1)+\FBA{ツ}\] \[=\FBAS{セ}\SK{b_n+\FBAS{チ}n+\FBAS{ツ}} \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\] と変形できる。ここで \[c_n=b_n+\FBAS{チ}n+\FBAS{ツ}\qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\Cdots\maruni\] とおくと,$\CK{c_n}$は,$c_1=\FBA{テ}$,公比が\FBA{ト}の等比数列であるから,$\maruni$により \[b_n=\FBA{ナ}^{\FBD{ニ}}-\FBA{ヌ}n-\FBA{ネ} \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\] である ただし,\FBA{ニ}については,当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarushi}のうちから一つ選べ。\\ \\ \makebox[7zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad $n-2$} \makebox[7zw][l]{\NM{\nagamaruichi}\quad $n-1$} \makebox[7zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad $n$} \makebox[7zw][l]{\NM{\nagamarusan}\quad $n+1$} \NM{\nagamarushi}\quad $n+2$ \end{document}