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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2012年度 |
| 問No |
問3 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
数列
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小)
\def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大)
\def\gun{\makebox[2zw][c]{$\left|\vphantom{\int{2}{2}}\right.$}}%群数列の仕切り
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\quad\dotfill}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\setlength{\textheight}{40\baselineskip}
\begin{document}
\h{\large \gt{第３問}}(配点 \; 20)\\
$\CK{a_n}$を$a_2=-\dfrac{7}{3}$，$a_5=-\dfrac{25}{3}$である等差数列とし，自然数$n$に対して，$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$とおく。\\
\quad
$a_1=\dfrac{\FBA{アイ}}{\FBA{ウ}}$であり，$\CK{a_n}$の公差は\FBA{エオ}である。したがって
\[a_n=\FBA{カキ}n+\frac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}} \quad\qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\]
\[S_n=\FBA{コ}n^2+\frac{\FBA{サ}}{\FBA{シ}}n \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\]
である。\\
\quad
次に，数列$\CK{b_n}$は
\[\sum_{k=1}^{n}b_k=\frac{4}{3}b_n+S_n \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\Cdots\maruichi\]
を満たすとする。数列$\CK{b_n}$の一般項を求めよう。$\maruichi$から，$b_1=\FBA{ス}$である。さらに，$\sum_{k=1}^{n+1}b_k=\sum_{k=1}^{n}b_k+b_{n+1}$に注意して，$\maruichi$を利用すると
\[b_{n+1}=\FBA{セ}b_n+\FBA{ソ}n+\FBA{タ} \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\]
が成り立ち，この等式は
\[b_{n+1}+\FBA{チ}(n+1)+\FBA{ツ}\]
\[=\FBAS{セ}\SK{b_n+\FBAS{チ}n+\FBAS{ツ}} \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\]
と変形できる。ここで
\[c_n=b_n+\FBAS{チ}n+\FBAS{ツ}\qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\Cdots\maruni\]
とおくと，$\CK{c_n}$は，$c_1=\FBA{テ}$，公比が\FBA{ト}の等比数列であるから，$\maruni$により
\[b_n=\FBA{ナ}^{\FBD{ニ}}-\FBA{ヌ}n-\FBA{ネ} \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\]
である
ただし，\FBA{ニ}については，当てはまるものを，次の\NM{\nagamarurei}～\NM{\nagamarushi}のうちから一つ選べ。\\
\\
\makebox[7zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad $n-2$}
\makebox[7zw][l]{\NM{\nagamaruichi}\quad $n-1$}
\makebox[7zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad $n$}
\makebox[7zw][l]{\NM{\nagamarusan}\quad $n+1$}
\NM{\nagamarushi}\quad $n+2$
\end{document}
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