解答を見る
解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2012年度 |
| 問No |
問2 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
微分法と積分法
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\quad\dotfill}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\setlength{\textheight}{40\baselineskip}
\begin{document}
\h{\large \gt{第２問}}(配点 \; 30)\\
座標平面上で曲線$y=x^3$を$C$とし，放物線$y=x^2+px+q$を$D$とする。
\begin{shomon}
曲線$C$上の点P$(a,\,a^3)$における$C$の接線の方程式は
\[y=3a^{\,\FBD{ア}}x-\FBA{イ}a^{\,\FBD{ウ}}\]
である。放物線$D$は点Pを通り，$D$のPにおける接線と，$C$のPにおける接線が一致するとする。このとき，$p$と$q$を$a$を用いて表すと
\[\begin{cases}
p=3a^{\,\FBD{エ}}-\FBA{オ}a\\[5pt]
q=\FBA{カキ}a^3+a^{\,\FBD{ク}}
\end{cases}
\Cdots\maruichi
\]
となる。\\
\\
以下，$p,\,q$は$\maruichi$を満たすとする。
\end{shomon}
\begin{shomon}
放物線$D$が$y$軸上の与えられた点Q$(0,\,b)$を通るとき
\[b=\FBA{ケコ}a^3+a^{\,\FBD{サ}}\Cdots\maruni\]
が成り立つ。与えられた$b$に対して，$\maruni$を満たす$a$の値の個数を調べよう。\\
\quad
そのために，関数
\[f(x)=\FBAS{ケコ}x^3+x^{\,\FBDS{サ}}\]
の増減を調べる。関数$f(x)$は，$x=\FBA{シ}$で極小値\FBA{ス}をとり，$x=\dfrac{\FBA{セ}}{\FBA{ソ}}$で極大値$\dfrac{\FBA{タ}}{\FBA{チツ}}$をとる。\\
\quad
関数$y=f(x)$のグラフをかくことにより，$\FBAS{ス}<b<\dfrac{\FBAS{タ}}{\FBAS{チツ}}$のとき，$\maruni$を満たす$a$の値の個数は\FBA{テ}であることがわかる。
\end{shomon}
\begin{shomon}
放物線$D$の頂点が$x$軸上にあるのは，$a=\FBA{ト},\,\dfrac{\FBA{ナ}}{\FBA{ニ}}$の二つの場合である。$a=\FBAS{ト}$のときの放物線を$D_1$，$a=\dfrac{\FBAS{ナ}}{\FBAS{ニ}}$のときの放物線を$D_2$とする。$D_1$，$D_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\dfrac{2^{\,\FBD{ヌ}}}{3^{\,\FBD{ネノ}}}$である。
\end{shomon}
\end{document}
ヘルプ
