センター試験 数学Ⅱ・B 2012年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2012年度
問No 問2
学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \h{\large \gt{第2問}}(配点 \; 30)\\ 座標平面上で曲線$y=x^3$を$C$とし,放物線$y=x^2+px+q$を$D$とする。 \begin{shomon} 曲線$C$上の点P$(a,\,a^3)$における$C$の接線の方程式は \[y=3a^{\,\FBD{ア}}x-\FBA{イ}a^{\,\FBD{ウ}}\] である。放物線$D$は点Pを通り,$D$のPにおける接線と,$C$のPにおける接線が一致するとする。このとき,$p$と$q$を$a$を用いて表すと \[\begin{cases} p=3a^{\,\FBD{エ}}-\FBA{オ}a\\[5pt] q=\FBA{カキ}a^3+a^{\,\FBD{ク}} \end{cases} \Cdots\maruichi \] となる。\\ \\ 以下,$p,\,q$は$\maruichi$を満たすとする。 \end{shomon} \begin{shomon} 放物線$D$が$y$軸上の与えられた点Q$(0,\,b)$を通るとき \[b=\FBA{ケコ}a^3+a^{\,\FBD{サ}}\Cdots\maruni\] が成り立つ。与えられた$b$に対して,$\maruni$を満たす$a$の値の個数を調べよう。\\ \quad そのために,関数 \[f(x)=\FBAS{ケコ}x^3+x^{\,\FBDS{サ}}\] の増減を調べる。関数$f(x)$は,$x=\FBA{シ}$で極小値\FBA{ス}をとり,$x=\dfrac{\FBA{セ}}{\FBA{ソ}}$で極大値$\dfrac{\FBA{タ}}{\FBA{チツ}}$をとる。\\ \quad 関数$y=f(x)$のグラフをかくことにより,$\FBAS{ス}<b<\dfrac{\FBAS{タ}}{\FBAS{チツ}}$のとき,$\maruni$を満たす$a$の値の個数は\FBA{テ}であることがわかる。 \end{shomon} \begin{shomon} 放物線$D$の頂点が$x$軸上にあるのは,$a=\FBA{ト},\,\dfrac{\FBA{ナ}}{\FBA{ニ}}$の二つの場合である。$a=\FBAS{ト}$のときの放物線を$D_1$,$a=\dfrac{\FBAS{ナ}}{\FBAS{ニ}}$のときの放物線を$D_2$とする。$D_1$,$D_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\dfrac{2^{\,\FBD{ヌ}}}{3^{\,\FBD{ネノ}}}$である。 \end{shomon} \end{document}