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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
大学名 |
センター試験 |
学科・方式 |
数学Ⅱ・B |
年度 |
2012年度 |
問No |
問1 |
学部 |
|
カテゴリ |
三角関数 ・ 指数関数と対数関数
|
状態 |
 |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\quad\dotfill}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\setlength{\textheight}{40\baselineskip}
\begin{document}
\h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\
\BK{\kagiichi}
$a>0,a\neq 1$として,不等式
\[\h 2\log_{a}(8-x)>\log_{a}(x-2)\Cdots\maruichi\]
を満たす$x$の値の範囲を求めよう。\\
\quad
真数は正であるから,$\FBA{ア}<x<\FBA{イ}$が成り立つ。ただし,対数$\log_{a}b$に対し,$a$を底といい,$b$を真数という。\\
\quad
底$a$が$a<1$を満たすとき,不等式$\maruichi$は
\[\h x^2-\FBA{ウエ}x+\FBA{オカ}\FBA{キ}0\Cdots\maruni\]
となる。ただし,\FBA{キ}については,当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamaruni}のうちから一つ選べ。\\
\\
\makebox[13zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad $<$}
\makebox[13zw][l]{\NM{\nagamaruichi}\quad $=$}
\makebox[13zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad $>$}\\
\\
\quad
したがって,真数が正であることと$\maruni$から,$a<1$のとき,不等式$\maruichi$を満たす$x$のとり得る値の範囲は$\FBA{ク}<x<\FBA{ケ}$である。\\
\quad
同様にして,$a>1$のときには,不等式$\maruichi$を満たす$x$のとり得る値の範囲は\\
$\FBA{コ}<x<\FBA{サ}$であることがわかる。
\EK
\vspace{4mm}
\BK{\kagini}
$0\leq\alpha\leq\pi$として
\[\h \sin\alpha=\cos 2\beta\]
を満たす$\beta$について考えよう。ただし,$0\leq\beta\leq\pi$とする。\\
\quad
たとえば,$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$のとき,$\beta$のとり得る値は$\dfrac{\pi}{\FBA{シ}}$と$\dfrac{\FBA{ス}}{\FBAS{シ}}\pi$の二つである。\\
\quad
このように,$\alpha$の各値に対して,$\beta$のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を$\beta_1$,大きい方を$\beta_2$とし
\[\h y=\sin\SK{\alpha+\frac{\beta_1}{2}+\frac{\beta_2}{3}}\]
が最大となる$\alpha$の値とそのときの$y$の値を求めよう。\\
\quad
$\beta_1$,$\beta_2$を$\alpha$を用いて表すと,$0\leq \alpha < \dfrac{\pi}{2}$のときは
\[\h \beta_1=\frac{\pi}{\FBA{セ}}-\frac{\alpha}{\FBA{ソ}},\,\beta_2=\frac{\FBA{タ}}{\FBAS{セ}}\pi+\frac{\alpha}{\FBAS{ソ}}\]
となり,$\dfrac{\pi}{2}\leq\alpha\leq\pi$のときは
\[\beta_1=-\frac{\pi}{\FBA{チ}}+\frac{\alpha}{\FBA{ツ}},\,\beta_2=\frac{\FBA{テ}}{\FBAS{チ}}\pi-\frac{\alpha}{\FBAS{ツ}}\]
となる。\\
\quad
したがって,$\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}$のとり得る値の範囲は
\[\h \frac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}}\pi\leq\alpha+\frac{\beta_1}{2}+\frac{\beta_2}{3}\leq\frac{\FBA{ニヌ}}{\FBA{ネ}}\pi\]
である。よって,$y$が最大となる$\alpha$の値は$\dfrac{\FBA{ノ}}{\FBA{ハヒ}}\pi$であり,そのときの$y$の値は\FBA{フ}であることがわかる。\FBA{フ}に当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarusan}のうちから一つ選べ。\\
\\
\makebox[9zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad $\dfrac{1}{2}$}
\makebox[9zw][l]{\NM{\nagamaruichi}\quad $1$}
\makebox[9zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad $\dfrac{\dsqrt{2}}{2}$}
\NM{\nagamarusan}\quad $\dfrac{\dsqrt{3}}{2}$
\EK
\end{document}