室蘭工業大学 前期 2011年度 問2

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問2
学部 工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\begin{document} {\bf \large{2.}} 正の整数$n$に対して \begin{center} $S_n(x)=\displaystyle \int_0^xt^ne^{-t}dt$ \end{center} とおく。ただし,$e$は自然対数の底とする。 {\sf (1)} $S_{n+1}(x)$を$n,x$および$S_n(x)$を用いて表せ。 {\sf (2)} $m$を正の整数とする。$x>0$のとき,不等式$e^{\frac{x}{m+1}}>\displaystyle \frac{x}{m+1}$が成り立つことを示      せ。また,$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x}=0$となることを示せ。 {\sf (3)} 数学的帰納法を用いて,すべての正の整数$n$に対して,$\displaystyle\lim_{x \to \infty} S_n(x)=n!$となるこ      とを示せ。