早稲田大学 政治経済学部 2011年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 政治経済学部
年度 2011年度
問No 問2
学部 政治経済学部
カテゴリ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \textheight=200mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}% \parbox{162mm}{\hspace*{-2zw}\textbf{問2}\quad 次の問に答えよ。$ \\[6mm]% \paalen{\makebox[10pt][c]{\textgt{1}\hspace*{1pt}}}\quad a,\ \,b\ は整数で, \ \ 2次方程式 \\[4mm] \hspace*{6.7zw} x^2+ax+b=0 \ \ \3dots\3dots\ \ (\mbox{A}) \\[4mm] \quad\ \ が異なる2つの実数解\ \alpha\,,\ \,\beta\ をもつとする。このとき,\ \ \alpha\,,\ \,\beta\ はともに整数であるか,とも\\[1mm]\quad\ \ に無理数であるかの いずれかであることを証明する。以下の問に答え,証明を完成せよ。\\[1mm] \qquad\ \ まず,\ \ b=0\ のときは,\ \ x^2+ax=0\ であるから\ \, \raisebox{.5pt}{(A)}\ \,は整数解0\,,\ \,-\,a\ \,をもつ。以下では\\[1mm] \quad\ \ \,b\neq 0\ とする。\\[1mm] \qquad\ \ 解と係数の関係より\ \alpha+\beta=-\,a,\ \ \alpha\beta=b\ であり, これらは整数である。有理数と無理数\\[1mm]\quad\ \ の和は有理数でなく,整数と 整数以外の有理数の和は整数でないという事実を用いると,\ \ \alpha\,,\\[1mm] \quad\ \ \,\beta\ がともに整数以外の有理数であるとして矛盾を導けばよい。\\[1mm] \qquad\ \ そこで,\ \ \alpha\,,\ \,\beta\ が2以上の整数\ \raisebox{1pt} {$p_1^{},\ \,p_2^{}$}\ と,\ \ 0でない整数\ \raisebox{1pt}{$q_1,\ \,q_2$}\ を用いて,既約分数 \\[4mm]\hspace*{7zw} \alpha=\dfrac{q_1^{}}{p_1^{}}\hspace*{1pt},\ \,\beta=\dfrac{q_2^{}}{p_2^{}} \\[4mm]\quad\ \ で表されると仮定する。ここに,\ \ \dfrac{q_i^{}}{p_i^{}}\ (\, i=1\,,\,2\,)\ が既約分数であるとは,\ \ \raisebox{1pt}{$p_i^{}$}\ と\ \raisebox{1pt}{$|\,q_i^{}\,|$}\ の最大公約\\[1mm]\quad\ \ 数が1であることを いう。このとき,\\[4mm]\hspace*{6.7zw} \begin{array}{r@{\,=\,}lc} \alpha+\beta & \dfrac{p_2^{}q_1^{}+p_1^{}q_2^{}} {p_1^{}p_2^{}} & \3dots\3dots\quad\maru{1} \\[4mm] \alpha\beta & \dfrac{q_1^{}q_2^{}}{p_1^{}p_2^{}} & \3dots\3dots\quad\maru{2} \end{array} \\[4mm]\quad\ \ である。\\[4mm] \quad\ \ \textbf{問\maru{1}}\ \ \maru{1}において,\ \ \alpha+\beta\ が整数であ ることを用いて,\ \ \raisebox{1pt}{$p_1^{}=p_2^{}$}\ であることを示せ。\\[4mm] \quad\ \ \textbf{問\maru{2}}\ \ \maru{2}において,\ \ \alpha\beta\ が整数である ことと\textbf{問\maru{1}}の結果から,既約分数の仮定に矛盾することを\\[1mm] \hspace*{3.7zw}示せ。\\[4mm] \hspace*{2.6zw}\textbf{問\maru{2}}の結果から,\ \ \alpha\,,\ \,\beta\ はともに 整数であるか,ともに無理数であることが示された。\\[6mm] \paalen{\textgt{2}}\quad c\ が自然数のとき,\ \,\sqrt{c}\ \,は自然数であるか 無理数であることを証明せよ。$} \end{document}