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解答作成者: 門 直之
入試情報
大学名 |
杏林大学 |
学科・方式 |
医学部 |
年度 |
2011年度 |
問No |
問2 |
学部 |
医学部
|
カテゴリ |
行列と連立一次方程式
|
状態 |
 |
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\begin{document}
\begin{flushleft}
(1) 1次変換 $f$,$g$ を表す行列を,それぞれ $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ とする.\\
\vspace*{1zw}
\hspace*{0.5zw}$A$,$B$ の逆行列 $A^{-1}$,$B^{-1}$ は,\\
\vspace*{0.5zw}
\hspace*{1zw}$A^{-1}=\dfrac{1}{\hspace*{1zw}\f{\hspace*{1zw}ア\hspace*{1zw}}\hspace*{1zw}}\begin{pmatrix} \f{\hspace*{1zw}イ\hspace{1zw}} & \f{\hspace*{1zw}ウ\hspace*{1zw}} \\ \f{\hspace*{1zw}エ\hspace*{1zw}} & \f{\hspace*{0.5zw}オカ\hspace*{0.5zw}} \end{pmatrix}$,$B^{-1}=\dfrac{1}{\hspace*{1zw}\f{\hspace*{1zw}キ\hspace*{1zw}}\hspace*{1zw}}\begin{pmatrix} \f{\hspace*{1zw}ク\hspace*{1zw}} & \f{\hspace*{0.5zw}ケコ\hspace*{0.5zw}} \\ \f{\hspace*{1zw}サ\hspace*{1zw}} & \f{\hspace*{1zw}シ\hspace*{1zw}} \end{pmatrix}$\\
\vspace*{0.5zw}
\hspace*{0.5zw}となる.\\
\vspace*{0.5zw}
\hspace*{1.5zw}点 $(1, 1)$ は合成変換 $f \circ g$ によって点 $(\f{\hspace*{1zw}ス\hspace*{1zw}}, \f{\hspace*{1zw}セ\hspace*{1zw}})$ に移動する.また,合成変換$f^{-1} \circ g$ による点\\
\vspace*{0.5zw}
\hspace*{0.5zw}$(1, \alpha)$ の像と,合成変換 $f \circ g^{-1}$ による点 $(\alpha, \beta)$ の像が一致するとき,$\alpha=\f{\hspace*{0.5zw}ソタ\hspace*{0.5zw}}$,$\beta=\f{\hspace*{1zw}チ\hspace*{1zw}}$ となる.\\
\vspace*{0.5zw}
\hspace*{0.5zw}ここで,$f^{-1}$,$g^{-1}$ はそれぞれ $f$,$g$ の逆変換を表す.\\
\vspace*{2zw}
(2) $C=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -\sqrt{3} & 1 \\ -1 & -\sqrt{3}\end{pmatrix}$ とすると,\\
\vspace*{0.5zw}
\hspace*{4zw}$C^{8}\begin{pmatrix} 2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \f{\hspace*{0.5zw}ツテ\hspace*{0.5zw}} \\ \f{\hspace*{1zw}ト\hspace*{1zw}}\sqrt{\f{\hspace*{1zw}ナ\hspace*{1zw}}}\end{pmatrix}$\\
\vspace*{0.5zw}
\hspace*{0.5zw}となる.
\end{flushleft}
\end{document}