早稲田大学 理工 2011年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 理工
年度 2011年度
問No 問3
学部 基幹理工学部 ・ 創造理工学部 ・ 先進理工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=200mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}{[\makebox[4.5mm][l]{\textbf{I\hspace*{-1pt}I\hspace*{-1pt}I}}]}% \hspace*{1.5zw}$f(x)=\dfrac{\log x}{x}\ とする。以下の問に答えよ。\\[4mm]% \quad\ (1)\ \ y=f(x)のグラフの概形を次の点に注意して描け\!:\,f(x)の増減,グラフ \\[1mm]\hspace*{3.4zw}の凹凸,\ \ x\to+0,\,x\to\infty\,のときのf(x)の挙動。\\ [2mm]\quad\ (2)\ \ nを自然数とする。\ \,k=1,\hspace*{1pt}2,\hspace*{1pt}\cdots \,,\hspace*{1pt}nに対してxが\ \mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n} $}\leqq x\leqq\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k\,}{n}$}\,を動く\hspace* {1zw}\\[1mm]\hspace*{3.4zw}ときのf(x)の最大値を\ M_k,\ \,最小値を\ m_k\,とし, \displaystyle \\[4mm]\hspace*{13zw} A_n=\sum_{k=1}^n M_k\bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k\,}{n}$} -\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$}\bigr), \\[1.5mm] \hspace*{13zw} B_n=\sum_{k=1}^n m_k\bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt} {$\frac{\,k\,}{n}$}-\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$} \bigr), \\[4mm] \hspace*{3.4zw}とおく。\ A_n,\,B_n\,を求めよ。\\[2mm] \quad\ (3)\ \,\lim_{n\to\infty} A_n\,および\,\lim_{n\to\infty} B_n\,を求めよ。 \\[2mm]\quad\ (4)\ \ 各nに対してB_n<\int_1^{\mbox{\small$e$}} f(x)\,dx<A_n\, であることを示せ。$ \end{document}