同志社大学 全学部<理> 2011年度 問1

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解答作成者: 中瀬古 佳史

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入試情報

大学名 同志社大学
学科・方式 全学部<理>
年度 2011年度
問No 問1
学部 理工学部 ・ 生命医科学部 ・ 文化情報学部<理>
カテゴリ 確率 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j,11pt]{jsarticlek} \usepackage{emath,emathMw,emathP,emathPp} \makeatletter \let\emdfrac\dfrac \let\emmod\mod \let\emdegreee\degree \let\emnagamaru\nagamaru \let\emMaru\Maru \let\dfrac\@undefined \let\mod\@undefined \let\degree\@undefined \let\nagamaru\@undefined \let\Maru\@undefined \makeatother \usepackage{ceo} % ここから \let\dfrac\emdfrac \let\mod\emmod \let\degreee\emdegree \let\nagamaru\emnagamaru \let\Maru\emMaru \setlength{\topmargin}{-5.4truemm} \setlength{\headheight}{0truemm}% ヘッダーの高さを確保 \setlength{\headsep}{0zh}% ヘッダーと本文領域の幅を確保 \setlength{\textheight}{257truemm}% その分,本文領域を低くする \setlength{\footskip}{10truemm} \setlength{\oddsidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\evensidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\marginparwidth}{0truemm} \setlength{\marginparsep}{0truemm} \setlength{\textwidth}{170truemm} \renewcommand{\baselinestretch}{1.1} \def\syutten#1#2{\hfill{}(#1 \,\, #2)} \def\syuttenn#1{\hfill{} (#1)} \def\h25{\hspace{.25zw}} \def\mannaka#1{\hfill{} #1 \hfill{}} \def\betumath#1{\hspace{3zw} #1} \def\douti{ \,\, \doti \,\,} \def\fb3{\fbox{   }} \begin{document} \noindent{\bf ※ すべての問題を以下に記す.} \begin{mondai}\h25 次の \fb3 に適する数を,解答用紙の同じ記号のついた \fb3 の中に記入せよ. \begin{shomon} 定数 $A,\,\,B,\,\,C$ を \\ \mannaka{$\dfrac{x^2+5}{(x+1)^2(x-2)}=\dfrac{A}{(x+1)^2}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-2}$} \\ が成立するように選ぶと,\\ \mannaka{$A=\fb3$,$B=\fb3$,$C=\fb3$} \\ である.したがって,\\ \mannaka{$\dint{0}{1}\dfrac{x^2+5}{(x+1)^2(x-2)}\,dx=\fb3$} \\ である. \end{shomon} \begin{shomon} 3個のサイコロを同時に投げるとき,出る目の最大数が5以下になる確率は \fb3,4以下になる確率は \fb3 である.これより,出る目の最大数がちょうど6になる確率は \fb3,ちょうど5になる確率は \fb3 である.したがって,3個のサイコロを同時に投げるときに,出る目の最大数の期待値は \fb3 である. \end{shomon} \end{mondai} \bigskip \begin{mondai}\h25 原点をOとする座標平面内で行列 \\ \mannaka{$A=\mat[a,b,c,d]$} \\ の表す1次変換 $f$ を考える.この $f$ によって,P$(1,\,\,0)$,Q$(0,\,\,1)$ が移る点をそれぞれ $\text{P}'$,$\text{Q}'$ とすると,線分 $\text{OP}'$ と線分 $\text{OQ}'$ の長さが等しいとする.また,$f$ によって,点 $(1,\,\,2)$ はそれ自身に移るとする.次の問いに答えよ. \begin{shomon} $a,\,\,c$ の満たす条件を求めよ.また,この条件を満たす図形を $ac$ 平面に図示せよ. \end{shomon} \begin{shomon} 1次変換 $f$ によって,点R $(1,\,\,1)$ が移る点を $\text{R}'$ とする.また,線分 $\text{OR}'$ の長さを $r$ とする.$r$ の最大値および最小値とそのときの $a,\,\,c$ の値,および点 $\text{R}'$ の座標をそれぞれ求めよ. \end{shomon} \end{mondai} \bigskip \begin{mondai}\h25 座標空間の原点Oを中心とする半径1の球面上に互いに異なる3点A,B,Cを取り,\\ \mannaka{$\alpha=\Kaku{\text{AOC}}$,$\beta=\Kaku{\text{BOC}}$,$\theta=\Kaku{\text{AOB}}$} \\ とおく.ただし,点Cの座標は $(0,\,\,0,\,\,1)$ とし,$0<\alpha \leq \pi$,$0 < \beta \leq \pi$,$0 < \theta \leq \pi$ とする.\\ 次の問いに答えよ. \begin{shomon} $\Vec{OA}=(a_1,\,\,a_2,\,\,a_3)$ とするとき,\\ \mannaka{$a_3$,$\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}$} \\ を $\alpha$ で表せ.また,$\Vec{OB}=(b_1,\,\,b_2,\,\,b_3)$ とするとき,\\ \mannaka{$b_3$,$\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}$} \\ を $\beta$ で表せ. \end{shomon} \begin{shomon} 内積 $\Vec{OA} \cdot \Vec{OB}$ と $\cos{(\alpha+\beta)}$ の大小を判定せよ.ただし,等号成立条件は述べなくてよい. \end{shomon} \begin{shomon} 上の \kakkoni の結果を用いて,$\theta$ と $\alpha+\beta$ の大小を判定せよ.ただし,等号成立条件は述べなくてよい. \end{shomon} \end{mondai} \bigskip \begin{mondai}\h25 数列 \\ \mannaka{$a_1=\sqrt{2}$,$a_2=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$,$a_3=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}$,$a_4=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}}$,$\cdots$} \\ は漸化式 \\ \mannaka{$a_{n+1}=(\sqrt{2})^{a_n} \,\,\, (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$} \\ を満たしている.$f(x)=(\sqrt{2})^x$ として次の問いに答えよ. \begin{shomon} $0 \leq x \leq 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ. \end{shomon} \begin{shomon} $0 \leq x \leq 2$ における $f'(x)$ の最大値と最小値を求めよ. \end{shomon} \begin{shomon} $0<a_n<2 \,\,\, (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が成立することを数学的帰納法を用いて示せ. \end{shomon} \begin{shomon} $0<2-a_{n+1}<(\log{2})(2-a_n) \,\,\, (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が成立することを示せ. \end{shomon} \begin{shomon} $\dlim{n \to \infty} \, a_n$ を求めよ. \end{shomon} \end{mondai} \end{document}