慶應義塾大学 薬学部 2011年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 薬学部
年度 2011年度
問No 問1
学部 薬学部(2008年以降)
カテゴリ 式と証明 ・ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数 ・ 微分法と積分法 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=154mm \textheight=200mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\longbox#1{\framebox[14mm][c]{#1}} \def\kybox#1{\framebox[9.8mm][c]{(\makebox[1zw][c]{#1})}} \def\ky2box#1#2{\framebox[17mm][c]{(\makebox[1zw][c]{#1})\hspace* {1.2pt}(\makebox[1zw][c]{#2})}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \noindent\parbox{154mm} {\hspace*{-3.1zw}\raisebox{-1pt}{\Large〔\makebox[1.1zw][c]{\textbf{I}}〕}% \fboxrule=.8pt\fboxsep=.7mm\ 以下の問の\ \raisebox{1pt}{\framebox[9mm][c] {\small(\,1\,)}}\,~\,\raisebox{1pt}{\framebox[9mm][c]{\small(33)}}\ に当て はまる適切な数値またはマイナス符号\paalen{\raisebox{.5pt}{$-$}}を マークしなさい. $\displaystyle \\[3mm]% \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{\!(1)} xの整式\ f(x),\ g(x)について,次の2つの 恒等式が成り立つ.\\[4mm] \hspace*{3zw} (x+2)f(x^2)=x^2\{f(x)+7\}-3x-6 \\[1mm] \hspace*{3zw} g(x)=f(2x)(x^2+3)-4x+9 \\[5mm]% \makebox[3zw][r]{(\makebox[1.7mm][c]{i})\ \ \,} f(10)の値は\ \ky2box{1}{2}\ で ある.\\[3mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1.7mm][c]{ii})\ \ \,} g(x)を\ x+\sqrt{\,2\,}\ で割る ときの余りは\ \,\ky2box{3}{4}-\ky2box{5}{6}\,\sqrt{\ \kybox{7}\ }\ \,である.\\ [10mm]\hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{\!(2)} x>0,\ \,y>0,\ \,z>0\ であり,\ \ xyz^3=1000,\ \,x^2 yz=10\ が成り立つとき,\\[1mm] \,L=(\log_{10}y)(\log_{10}x+6)\ \ とおく.\\[3mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1.7mm][c]{i})\ \ \,} L=-40\ のとき,\ \ zの値は\ 10\,\raisebox{9pt}{\fboxsep=.4mm\longbox{\footnotesize(\makebox[1zw][c]{8})% \hspace*{1pt}(\makebox[1zw][c]{9})}}\ または\ 10\,\raisebox{9pt}{\fboxsep=.4mm% \framebox[8mm]{\footnotesize(\makebox[1zw][c]{10})}}\ である.\\[4mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1.7mm][c]{ii})\ \ \,} Lの最大値は\ \frac{\ \ky2box{11}{12}\ }{\kybox{13}}\ である.\\[10mm] \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{\!(3)} 直線\,\maru{1}\,と2つの放物線\,\maru{2}, \ \maru{3}\,がある.\\[4mm] \hspace*{3zw} y=x+m \quad \paalen{mは定数} \hfill\3dots\3dots\3dots\3dots \ \ \maru{1} \hspace*{21.6zw}\\[1mm] \hspace*{3zw} y=x^2+12x+20 \hfill\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots \ \ \maru{2} \hspace*{21.6zw}\\[1mm] \hspace*{3zw} y=-x^2+14x-40 \hfill\3dots\3dots\3dots\3dots\3dots \ \ \maru{3} \hspace*{21.6zw}\\[4mm] \maru{1}\,と\,\maru{2}\,が異なる2点で交わり,\ \ \maru{1}\,と\,\maru{3}\,も 異なる2点で交わるとき,\\[4mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1.7mm][c]{i})\ \ \,} mの値の範囲は,\ \ \,\frac{\ \framebox[24mm][c]{(14)\hspace*{1pt}(15)\hspace*{1pt}(16)}\ }{\kybox{17}}<m <\frac{\ \kybox{18}\ }{\kybox{19}}\quad である.\\[4mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1.7mm][c]{ii})\ \ \,} \maru{1}\,と\,\maru{2}\,で囲ま れた部分の面積をS_1\,とし,\ \ \maru{1}\,と\,\maru{3}\,で囲まれた部分の面積を S_2\,とする.\\[1mm]\qquad S_1\,とS_2\,が等しいとき,\\[3mm]\hspace*{5zw} S_1=S_2=\frac{\ \framebox[24mm][c]{(20)\hspace*{1pt}(21)\hspace*{1pt}(22)} \ }{\kybox{23}} \quad である. $} \newpage\noindent\parbox{154mm} {\hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{\!(4)}\,\fboxrule=.8pt\fboxsep=.7mm$xy平面上 で,不等式\ \,x\geqq 0,\ \ y\geqq 0,\ \ x\makebox[14pt][c]{+}y \leqq \displaystyle\frac{\raisebox{-.5mm}{$\pi$}}{\ 2\ },\ \,\frac{\raisebox{-.5mm} {1}}{\ 2\ }\leqq \sin(x\makebox[14pt][c]{+}y) \leqq \frac{\raisebox{-.5mm}{$\sqrt{\,3\,}$}\,}{2}\ \,を同時に \\[1.5mm]満たす点\, \raisebox{.7pt}{$(x,\hspace*{5pt}y)$}\,全体の集合を領域Dとする.\\[4mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1.7mm][c]{i})\ \ \,} 領域Dの面積は\ \frac{\qquad\raisebox{-.5mm}{$\pi$}\raisebox{9pt}{\fboxsep=.4mm\framebox[8mm] [c]{\footnotesize(24)}}}{\ \ky2box{25}{26}\ }\ である.\\[4mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1.7mm][c]{ii})\ \ \,}点\mbox{P}(x,\ y)が領域Dの中を 動くとき,\\[2mm]\qquad 3\sin^2\Bigl(\frac{\ \raisebox{-.5mm}{$x$}\ }{2}+y \Bigr)\!+\cos^2 \Bigl(\frac{\ \raisebox{-.5mm}{$x$}\ }{2}+y\Bigr) +\sqrt{3}\hspace*{1pt}\sin(x\makebox[14pt][c]{+}2y)+2 \quad の最大値 は\ \kybox{27}\,,\ \,最小値は\\[2mm]\qquad \kybox{28}\ である.\\[10mm] \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{(5)}数列\{a_n\}\ \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 8 \ },\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 8\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 4\ },\, \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 8\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 4\ },\, \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 2\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 8\ },\, \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 4\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 2\ },\hspace* {3pt}1,\hspace*{3pt}\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 8\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm} {1}}{\ 4\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 2\ },\hspace*{3pt}1,\hspace*{3pt}2, \ \3dots\3dots\ \ がある.\\[2mm] この数列\{a_n\}を初めから1個,\ \ 2個,\ \ 3個,\ \ \3dots\3dots\ と下記の ように区画に分ける.\\[2mm]\hspace*{5.6zw} \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 8\ }\,\Big|\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 8\ }, \,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 4\ }\,\Big|\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\ 8\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 4\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\ 2\ }\,\Big|\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 8\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm} {1}}{\ 4\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 2\ },\ 1\hspace*{3pt}\Big|\, \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 8\ },\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 4\ },\, \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 2\ },\ 1,\ 2\hspace*{3pt}\Big|\ \3dots\3dots \\ [2mm]このとき,\ \,初めから第k番目の区画は,\ \,初項\,\frac{\raisebox{-.5mm}{1} }{\ 8\ },\ 公比2の等比数列の初項から第k項までの\\[2mm]数列である.ただし k=1,\,2,\,3,\ \3dots\3dots\ とする.\\[5mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1.7mm][c]{i})\ \ \,} a_n=2^{\hspace*{.5pt}30}\ と なる最小のnの値は\ \framebox[24mm][c]{(29)\hspace*{1pt}(30)\hspace*{1pt}(31)}\ である.\\[4mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1.7mm][c]{ii})\ \ \,} 数列\ \{a_n\}\ の第135項は\ 2\,\raisebox{9pt}{\fboxsep=.4mm\longbox{\footnotesize(32)(33)}}\ である.$} \end{document}