センター試験 数学Ⅱ・B 2011年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2011年度
問No 問4
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{okumacro,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\ZK#1{\left|#1\right|} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ 四角\ruby{錘}{すい}OABCDにおいて,三角形OBCと三角形OADは合同で,$\text{OB}=1,\,\text{BC}=2,\,\text{OC}=\dsqrt{3}$であり,底面の四角形ABCDは長方形である。$\text{AB}=2r$とおき,$\Vec{OA}=\vec{a},\,\Vec{OB}=\vec{b},\,$\\ $\Vec{OC}=\vec{c}$とおく。 \begin{center} \includegraphics[width=10cm,clip]{center2011-2b-4mondai1.eps} \end{center} $\Vec{OD}$を$\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$を用いて表すと$\Vec{OD}=\overrightarrow{\FBA{ア}}-\overrightarrow{\FBA{イ}}+\vec{c}$である。辺ODを$1:2$に内分する点をLとすると \[\Vec{AL}=-\frac{\FBA{ウ}}{\FBA{エ}}\vec{a}-\frac{\FBA{オ}}{\FBAS{エ}}\vec{b}+\frac{\FBA{カ}}{\FBAS{エ}}\vec{c}\] となる。\\ \quad さらに辺OBの中点をM,3点A,L,Mの定める平面を$\alpha$とし,平面$\alpha$と辺OCとの交点をNとする。点Nは平面$\alpha$上にあることから,$\Vec{AN}$は実数$s,\,t$を用いて$\Vec{AN}=s\Vec{AL}+t\Vec{AM}$と表されるので \[\Vec{ON}=\SK{\FBA{キ}-\frac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}s-t}\vec{a}+\SK{-\frac{s}{\FBA{コ}}+\frac{t}{\FBA{サ}}}\vec{b}\] \[\hspace{4zw}+\frac{s}{\FBA{シ}}\vec{c}\] となる。一方,点Nは辺OC上にもある。これらから,$\Vec{ON}=\dfrac{\FBA{ス}}{\FBA{セ}}\vec{c}$となる。\\ \quad また,$\vns{a}{b}=\FBA{ソ}-\FBA{タ}r^2,\,\vns{b}{c}=\FBA{チ},\,\vns{a}{c}=\FBA{ツテ}r^2$である。よって,$\Vns{AM}{MN}$を計算すると,$\text{AB}=\sqrt{\FBA{ト}}$のとき,直線AMと直線MNは垂直になることがわかる。 \end{document}