センター試験 数学Ⅱ・B 2011年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2011年度
問No 問1
学部
カテゴリ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\ \BK{\kagiichi} $-\dfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq0$のとき,関数 \[\h y=\cos2\theta+\sqrt{3}\sin2\theta-2\sqrt{3}\cos\theta-2\sin\theta\] の最小値を求めよう。\\ \quad $t=\sin\theta+\dsqrt{3}\cos\theta$とおくと \[\h t^2=\FBA{ア}\cos^2\theta+\FBA{イ}\sqrt{\FBA{ウ}}\sin\theta\cos\theta+\FBA{エ}\] であるから \[\h y=t^2-\FBA{オ}t-\FBA{カ}\] となる。また \[\h t=\FBA{キ}\sin\SK{\theta+\frac{\pi}{\FBA{ク}}}\] である。$\theta+\dfrac{\pi}{\FBAS{ク}}$のとり得る値の範囲は \[\h -\frac{\pi}{\FBA{ケ}}\leq \theta+\frac{\pi}{\FBAS{ク}}\leq\frac{\pi}{\FBAS{ク}}\] であるから,$t$のとり得る値の範囲は \[\h \FBA{コサ}\leq t \leq\sqrt{\FBA{シ}}\] である。したがって,$y$は$t=\FBA{ス}$,すなわち$\theta=-\dfrac{\pi}{\FBA{セ}}$のとき,最小値\FBA{ソタ}をとる。 \EK \vspace{4mm} \BK{\kagini} 自然数$x$で,条件 \[\h 12(\log_2\sqrt{x})^2-7\log_4x-10>0\Cdots\maruichi\] \[\h x+\log_3x<14 \Cdots\maruni\] を満たすものを求めよう。\\ \quad まず,$x$を正の実数として,条件$\maruichi$を考える。$\maruichi$は$X=\log_2x$とおくと \[\h 6X^2-\FBA{チ}X-\FBA{ツテ}>0\] となる。この2次不等式を解くと \[X<-\frac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}},\,\frac{\FBA{ニ}}{\FBA{ヌ}}<X\] となる。したがって,条件$\maruichi$を満たす最小の自然数$x$は\FBA{ネ}であり,$\FBAS{ネ}$以上のすべての自然数$x$は$\maruichi$を満たす。\\ \quad 次に,条件$\maruni$について考えると,$\maruni$を満たす最大の自然数$x$は\FBA{ノハ}であり,\FBAS{ノハ}以下のすべての自然数$x$は$\maruni$を満たす。\\ \quad したがって,求める$x$は\FBAS{ネ}以上\FBAS{ノハ}以下の自然数である。 \EK \end{document}