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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
大学名 |
センター試験 |
学科・方式 |
数学Ⅰ・A |
年度 |
2011年度 |
問No |
問1 |
学部 |
|
カテゴリ |
数と式 ・ 方程式と不等式 ・ 集合と論理
|
状態 |
 |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\quad\dotfill}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\setlength{\textheight}{40\baselineskip}
\begin{document}
\h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 20)\\
\BK{\kagiichi}
$a=3+2\dsqrt{2},\,b=2+\dsqrt{3}$とすると
\[\h \frac{1}{a}=\FBA{ア}-\FBA{イ}\sqrt{\FBA{ウ}}\]
\[\h \frac{1}{b}=\FBA{エ}-\sqrt{\FBA{オ}}\]
\[\h \frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\FBA{カ}\sqrt{\FBA{キ}}-\FBA{ク}\sqrt{\FBA{ケ}}\]
である。このとき,不等式
\[\h \abs{2abx-a^2}<b^2\]
を満たす$x$の値の範囲は
\[\h \FBA{コ}\sqrt{\FBA{サ}}-\FBA{シ}\sqrt{\FBA{ス}}<x<\FBA{セ}-\FBA{ソ}\sqrt{\FBA{タ}}\]
となる。
\EK
\vspace{4mm}
\BK{\kagini}
実数$a,\,b$に関する条件$p,\,q$を次のように定める。
\[\h p:(a+b)^2+(a-2b)^2<5\]
\[\h q:\abs{a+b}<1\;または\;\abs{a-2b}<2\]
\EK
\vspace{1zw}
\begin{shomon}
次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarusan}のうち,命題「$q\narabaa p$」に対する反例になっているのは\FBA{チ}である。\\
\\
\makebox[18zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad $a=0,\,b=0$}
\NM{\nagamaruichi}\quad $a=1,\,b=0$\\
\makebox[18zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad $a=0,\,b=1$}
\NM{\nagamarusan}\quad $a=1,\,b=1$
\end{shomon}
\vspace{1zw}
\begin{shomon}
命題「$p\narabaa q$」の対偶は「\FBA{ツ}$\narabaa$\FBA{テ}」である。\\
\quad
\FBAS{ツ},\FBAS{テ}に当てはまるものを,次の\NM{\nagamarushi}~\NM{\nagamarushichi}のうちから一つずつ選べ。\\
\\
\makebox[18zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad $\abs{a+b}<1\;かつ\;\abs{a-2b}<2$}
\NM{\nagamaruichi}\quad $(a+b)^2+(a-2b)^2<5$\\
\makebox[18zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad $\abs{a+b}<1\;または\;\abs{a-2b}<2$}
\NM{\nagamarusan}\quad $(a+b)^2+(a-2b)^2\leq5$\\
\makebox[18zw][l]{\NM{\nagamarushi}\quad $\abs{a+b}\geq1\;かつ\;\abs{a-2b}\geq2$}
\NM{\nagamarugo}\quad $(a+b)^2+(a-2b)^2>5$\\
\makebox[18zw][l]{\NM{\nagamaruroku}\quad $\abs{a+b}\geq1\;または\;\abs{a-2b}\geq2$}
\NM{\nagamarushichi}\quad $(a+b)^2+(a-2b)^2\geq5$
\end{shomon}
\vspace{1zw}
\begin{shomon}
$p$は$q$であるための\FBA{ト}。\\
\quad
\FBAS{ト}に当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarusan}のうちから一つ選べ。\\
\\
\NM{\nagamarurei}\quad 必要十分条件である \\
\NM{\nagamaruichi}\quad 必要条件であるが,十分条件ではない\\
\NM{\nagamaruni}\quad 十分条件であるが,必要条件ではない\\
\NM{\nagamarusan}\quad 必要条件でも十分条件でもない\\
\end{shomon}
\end{document}